20．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1，an，Sn成等差数列，且a5＝S4+2，n∈N*． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）记bn＝
，n∈N*，证明：b1+b2+…+bn≤﹣
，n∈N*．
【分析】（Ⅰ）由等差数列的中项性质和数列的递推式，结合等比数列的定义和通项公式、求和公式，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式； （Ⅱ）求得bn＝
，当n≥2时，bn＝
＜
＝
＝（﹣），由数列的裂项相消求和可得n≥2不等式成立，
检验n＝1时，等号也成立，即可得证．
解：（Ⅰ）a1，an，Sn成等差数列，可得2an＝a1+Sn，
当n≥2时，2an﹣1＝a1+Sn﹣1，两式相减可得2an﹣2an﹣1＝Sn﹣Sn﹣1＝an， 即an＝2an﹣1，可得{an}为公比为2的等比数列，则Sn＝由a5＝S4+2，可得a1?24＝a1（24﹣1）+2， 解得a1＝2，则an＝2n，n∈N*； （Ⅱ）证明：bn＝
＝
，当n≥2时，bn＝
＜
＝
＝a1（2n﹣1），
＝（﹣），
则b1+b2+…+bn＜+（1﹣+﹣+…+当n＝1时，﹣
﹣）＝﹣，
＝＝a1，则等号取得，
则b1+b2+…+bn≤﹣，n∈N*．
21．如图，设点F是抛物线C：x2＝2y的焦点，直线l与抛物线C相切于点P（点P位于第一象限），并与抛物线C的准线相交于点A．过点P且与直线l垂直的直线l1交抛物线C于另一点B，交y轴于点Q，连结AB．
（Ⅰ）证明：△FPQ为等腰三角形； （Ⅱ）求△PAB面积的最小值．
【分析】（1）先求P处的切点方程，再根据垂直关系求垂线方程，得到点Q坐标，由抛物线定义得|FQ|＝|FP|，
（2）先求AB坐标，再求|PA|，|PB|的表达式，利用直角三角形得到面积的函数关系，再求最大值．【解答】解（1）设P（x0，
）且x0＞0，
因为直线l与抛物线C相切，求导得y'＝x，即k＝x0， 所以直线l的方程为y＝x0x﹣直线l1的方程为y﹣
＝
，
，即Q（0，
+1﹣＝
+，
+1），
因为F（0，），则|FQ|＝而|FP|＝
＝
+，
所以|FQ|＝|FP|， 即△FPQ为等腰三角形，
（2）抛物线C的准线为y＝﹣， 得A（
，﹣），
所以|PA|＝＝，
联立方程组y﹣得因为即B（
＝
，
，则，
和x2＝2y，
， ），
所以|PB|＝＝，
得△PAB面积为S＝|PA|?|PB|＝所以△PAB面积最小值为4． 22．已知函数f（x）＝lnx+
＝≥4，当且仅当x0＝1时取等号，
﹣
，g（x）＝﹣2ab?ex1+b（x+1）lnx﹣2a+2b+2，其中a∈R，且a＞0．
（Ⅰ）求f（x）在x∈（0，1]上的最大值；
（Ⅱ）若g（x）≤0对任意的b∈[a，+∞）及x∈（0，1]恒成立，求实数a的取值范围．注：e是自然对数的底数．
【分析】（Ⅰ）根据函数导数与单调性关系求最值；
（Ⅱ）先利用特值探路方法得到必要条件，再证明它的充分性，在证明过程中，先看成关于b的函数，再看成关于a的函数，最后变为关于x的函数加以解决． 解：（Ⅰ）
∴f（x）在（0，1]上为增函数， ∴f（x）max＝f（1）＝2；
（Ⅱ）由题意，首先由g（1）＝﹣2ab﹣2a+2b+2＝2（1﹣a）（b+1）≤0得a≥1， ∴a≥1是g（x）≤0的必要条件， 下面证明a≥1是充分条件， 由已知b≥a＞0，又由（Ⅰ）得∴b（x+1）lnx≤2bx﹣2b，
故g（x）＝﹣2abex﹣1+b（x+1）lnx﹣2a+2b+2≤﹣2abex﹣1+2bx﹣2a+2，
又ex﹣1≥x，故g（x）≤﹣2abex﹣1+2bx﹣2a+2≤﹣2abx+2bx﹣2a+2＝2（1﹣a）（bx+1）， ∵a≥1，b≥0，x∈（0，1]，
，即（x+1）lnx≤2x﹣2，
，
∴g（x）≤0，
∴a≥1是g（x）≤0的充分条件． 综上，实数a的取值范围为[1，+∞）．
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