学业分层测评(十八) 极大值与极小值
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学业达标]
一、填空题
1.函数y＝2－x－x的极大值为________；极小值为________.
22
【解析】 ∵y′＝－2x－3x＝－x(3x＋2)，由y′＝0得x＝0或x＝－.函数在
3
2
3
?－∞，－2?，(0，＋∞)上都递减，在?－2，0?上递增，所以函数的极大值为f(0)＝2，极??3?3??????2?50小值为f?－?＝.
?3?27
【答案】 2
50 27
2
2.(2016·浏阳高二检测)函数f(x)＝＋ln x(x＞0)的极小值为________.
x221
【解析】 ∵f(x)＝＋ln x(x＞0)，∴f′(x)＝－2＋.由f′(x)＝0解得x＝2.
xxx当x∈(0,2)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数.
2
∴x＝2为f(x)的极小值点，所以函数f(x)＝＋ln x的极小值为f(2)＝1＋ln 2.
x【答案】 1＋ln 2
x2＋a3.(2016·宿迁高二检测)若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________.
x＋1
【导学号：24830086】
x2＋2x－a【解析】 f′(x)＝(x≠－1)，又y＝f(x)在x＝1处取得极值，则f′(1)＝
x＋12
0，解得a＝3.
【答案】 3
4.(2016·浙江瑞安月考)已知函数f(x)＝x＋bx＋cx的图象如图3-3-6所示，则x1＋
3
2
2
x22等于________.
图3-3-6
【解析】 由图象可知f(x)的图象过点(1,0)与(2,0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，
因此1＋b＋c＝0,8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，所以f(x)＝x－3x＋2x，所以f′(x)222
＝3x－6x＋2.x1，x2是方程f′(x)＝3x－6x＋2＝0的两根，因此x1＋x2＝2，x1x2＝，所以
3
22
x21＋x2＝(x1＋x2)－2x1x2＝4－＝.
32
48
33
8
【答案】
3
5.函数y＝x－3x－9x(－2＜x＜2)的极大值为______.
【解析】 y′＝3x－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，令y′＝0，得x＝－1或x＝3.当－2＜x＜－1时，y′＞0；当－1＜x＜2时，y′＜0.所以当x＝－1时，函数有极大值，且极大值为5，无极小值.
【答案】 5
6.已知函数f(x)＝ax＋bx＋c，其导函数图象如图3-3-7所示，则函数f(x)的极小值是________.
3
2
2
3
2
图3-3-7
【解析】 由函数导函数的图象可知，函数f(x)在(－∞，0)上递减，在(0,2)上递增，所以函数f(x)在x＝0时取得极小值c.
【答案】 c
7.若函数f(x)＝x－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________. 【解析】 令f(x)＝0得a＝3x－x，于是y＝a和y＝3x－x有3个不同交点，画出y＝3x－x的图象即可解决.结合下图，可知－2＜a＜2.
3
3
3
3
【答案】 －2＜a＜2
8.(2016·南通高二检测)如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图3-3-8所示，给出下列判断：
图3-3-8
1?? ①函数y＝f(x)在区间?－3，－?内单调递增； 2??
?1?②函数y＝f(x)在区间?－，3?内单调递减；
?2?
③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增； ④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值； 1
⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值.
2则上述判断中正确的是________(填序号).
1??【解析】 从图象知，当x∈(－3，－2)时，f′(x)＜0，当x∈?－2，－?时，f′(x)2??＞0，
1???1?所以函数y＝f(x)在? －3，－?内不单调，同理，函数y＝f(x)在?－，3?内也不单调，
2???2?故①②均不正确；当x∈(4,5)时，f′(x)＞0，所以函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增，故③正确；由于f′(2)＝0，且在x＝2的左、右两侧的附近分别有f′(x)＞0与f′(x)＜0，
1
所以当x＝2时函数y＝f(x)取得极大值，而在x＝－的左、右两侧的附近均有f′(x)
2＞0，
1
所以x＝－不是函数y＝f(x)的极值点，即④⑤均不正确.故填③.
2【答案】 ③ 二、解答题 9.求函数f(x)＝
2x－2的极值. x＋1
2
2
2
2x＋1－4x2
【解】 函数的定义域为R.f′(x)＝＝－22
x＋1x－1x＋1
，令f′(x)2
x＋12
＝0得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f′(x) f(x) (－∞，－1) － －1 0 极小值 (－1,1) ＋ 1 0 极大值 (1，＋∞) － 由表可知，当x＝－1时，函数取得极小值f(－1)＝－3.当x＝1时，函数取得极大值f(1)＝－1.
10.已知函数y＝ax＋bx，当x＝1时函数有极大值3. (1)求a，b的值；
3
2
(2)求函数y的极小值.
【导学号：24830087】
【解】 (1)y′＝3ax＋2bx，当x＝1时，y′＝3a＋2b＝0，又因为y＝a＋b＝3，
??3a＋2b＝0，即?
?a＋b＝3，?
3
2
23
??a＝－6，
解得?
?b＝9.?
2
(2)y＝－6x＋9x，y′＝－18x＋18x，令y′＝0，得x＝0或x＝1. ∴当x＝0时，函数y取得极小值0.
能力提升]
1.若函数f(x)＝x＋3ax＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________.
【解析】 f′(x)＝3x＋6ax＋3(a＋2)，令3x＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x＋2ax＋a＋2＝0.
∵函数f(x)有极大值和极小值，∴方程x＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根， 即Δ＝4a－4a－8＞0，解得a＞2或a＜－1. 【答案】 (－∞，－1)∪(2，＋∞)
2.已知f(x)＝x－6x＋9x－abc，a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.现给出如下结论：①f(0)f(1)＞0；②f(0)f(1)＜0；③f(0)f(3)＞0；④f(0)f(3)＜0.
其中正确结论的序号是________.
【解析】 ∵f(x)＝x－6x＋9x－abc，∴f′(x)＝3x－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，令
3
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
f′(x)＝0，得x＝1或x＝3.依题意，函数f(x)＝x3－6x2＋9x－abc的图象与x轴有三个不
同的交点，
故f(1)f(3)＜0，即(1－6＋9－abc)(3－6×3＋9×3－abc)＜0，∴0＜abc＜4， ∴f(0)＝－abc＜0，f(1)＝4－abc＞0，f(3)＝－abc＜0，故②③正确. 【答案】 ②③
3.(2016·淮安高二检测)若函数f(x)＝x－2bx＋3a在区间(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是________.
【解析】 f′(x)＝2x－2b＝2(x－b)，令f′(x)＝0，解得x＝b，由于函数f(x)在区间(0,1)内有极小值，则有0＜b＜1.当0＜x＜b时，f′(x)＜0；当b＜x＜1时，f′(x)＞0，符合题意.所以实数b的取值范围是0＜b＜1.
【答案】 0＜b＜1
4.设函数 f(x)＝ln x＋，m ∈R.
(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；
23
2
mx(2)当m≤0时，确定函数g(x)＝f′(x)－零点的个数.
3e
【解】 (1)由题设，当m＝e时，f(x)＝ln x＋，
xx则f′(x)＝
x－e
， x2
∴当x∈(0，e)，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上单调递减， 当x∈(e，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增， e
∴x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e＋＝2，
e∴f(x)的极小值为2.
x1mx13
(2)由题设g(x)＝f′(x)－＝－2－(x＞0)，令g(x)＝0，得m＝－x＋x(x＞0).
3xx33
13
设φ(x)＝－x＋x(x＞0)，
3
则φ′(x)＝－x＋1＝－(x－1)(x＋1)，
当x∈(0,1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0,1)上单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减. ∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点， 2
∴φ(x)的极大值为φ(1)＝.
3
2
又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象(如图)，因为m≤0，所以函数g(x)有且只有一个零点.
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