2016-2017学年高中数学第3章导数及其应用3.3.2极大值与极小值学业分层测评苏教版选修1-1

(2)当m≤0时，确定函数g(x)＝f′(x)－零点的个数.

3e

【解】 (1)由题设，当m＝e时，f(x)＝ln x＋，

xx则f′(x)＝

x－e

， x2

∴当x∈(0，e)，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上单调递减， 当x∈(e，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增， e

∴x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e＋＝2，

e∴f(x)的极小值为2.

x1mx13

(2)由题设g(x)＝f′(x)－＝－2－(x＞0)，令g(x)＝0，得m＝－x＋x(x＞0).

3xx33

13

设φ(x)＝－x＋x(x＞0)，

3

则φ′(x)＝－x＋1＝－(x－1)(x＋1)，

当x∈(0,1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0,1)上单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减. ∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点， 2

∴φ(x)的极大值为φ(1)＝.

3

2

又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象(如图)，因为m≤0，所以函数g(x)有且只有一个零点.