配餐作业(五十七) 抛物线
(时间：40分钟)
一、选择题
1．设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝－1 C．x＝－3
2
B．x＝－2 D．x＝－4
?p??解析 因为抛物线y＝2px的焦点2，0?在直线2x＋3y－8＝0??
上，所以p＝8，所以抛物线的准线方程为x＝－4，故选D。
答案 D
2．若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为( )
1
A.2 3C.2
B．1 D．2
解析 设P(xP，yP)，由题可得抛线物焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1，又点P到焦点F的距离为2，∴由定义知点P到准线的距离为2，∴xP＋1＝2，∴xP＝1，代入抛物线方程得|yP|＝2，∴△OFP的11
面积为S＝2·|OF|·|yP|＝2×1×2＝1。故选B。
答案 B
3．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|5
＝4x0，则x0＝( )
A．1
B．2
C．4 D．8
15
解析 由题意知抛物线的准线为x＝－4。因为|AF|＝4x0，根据抛15
物线的定义可得x0＋4＝|AF|＝4x0，解得x0＝1，故选A。
答案 A
4．(2016·广州模拟)如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋xn＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝( )
A．n＋10 C．2n＋10
B．n＋20 D．2n＋20
解析 由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点为(1,0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，|PnF|＝xn＋1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝x1＋1＋x2＋1＋…＋xn＋1＝(x1＋x2＋…＋xn)＋n＝n＋10。故选A。
答案 A
5．(2017·郑州模拟)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P，Q是抛物线上的两个点，若△PQF是边长为2的正三角形，则p的值是( )
A．2±3 C.3±1
2
B．2＋3 D.3－1
2
?p??y1??y2?
?????解析 F2，0，设P2p，y1，Q2p，y2?(y1≠y2)。由抛物线定义??????
2
y2py2p122
及|PF|＝|QF|，得2p＋2＝2p＋2，所以y1＝y2，又y1≠y2，所以y1＝－
1p
y2，所以|PQ|＝2|y1|＝2，|y1|＝1，所以|PF|＝2p＋2＝2，解得p＝2±3。故选A。
答案 A
6．(2016·大连二模)过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l交C→·→＝0，于A，B两点，点M(－1,2)。若MAMB则直线l的斜率k＝( )
A．－2 C．1
B．－1 D．2
解析 抛物线C：y2＝4x的焦点F(1,0)，由题意可知直线l的斜
2
??y＝4x
率存在，故可设直线l的方程为y＝k(x－1)，联立?，消
??y＝k?x－1?
去y得，k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
Δ＝16k2＋16>0，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2
2k4?x1＋x2＝＋2k∴?
?x1x2＝1
，
2
2k?y1＋y2＝k?x1＋x2?－2k＝＋4－2k＝4kk∴?
?y1y2＝－4
→·→＝(x＋1，y－2)·∴MAMB(x2＋1，y2－2)＝(x1＋1)(x2＋1)＋(y111
2k2＋4
－2)(y2－2)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝1＋k2＋1－44k2＋4－8k822
－k＋4＝＝0，∴4k＋4－8k＝0，即k－2k＋1＝0，∴k＝2k1，故选C。
答案 C 二、填空题
7．(2016·郑州一中一联)顶点在原点，经过圆C：x2＋y2－2x＋22y＝0的圆心且准线与x轴垂直的抛物线方程为________。
解析 将圆C的一般方程化为标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝3，圆心为(1，－2)。由题意，知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点(1，－2)。设抛物线的标准方程为y2＝2px，因为点(1，－2)在抛物线上，所以(－2)2＝2p，解得p＝1，所以所求抛物线的方程为y2＝2x。
答案 y2＝2x
8．(2016·沈阳第一次质检)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，|PF|＝________。
解析 令l与y轴交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，BF2323
＝2，所以AB＝3。设P(x0，y0)，则|x0|＝3，代入x2＝4y中，则14y0＝3，故|PF|＝|PA|＝y0＋1＝3。
4答案 3
9．(2017·辽宁五校协作体模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分|AF|
别交于A，B两点，则|BF|的值等于________。
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