专题03 导数
一．基础题组
1. 【2010新课标，理3】曲线y＝
x在点(－1，－1)处的切线方程为( ) x?2A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1 C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2 【答案】A
2. 【2008全国1，理6】若函数y?f(x?1)的图像与函数y?ln对称，则f(x)?（ ） A．e2x?1
B．e2x
2?y?1?x?1的图像关于直线y?xC．e2x?1 D．e2x?2
【答案】B.
【解析】由y?lnx?1?x?e,f?x?1??e2?x?1?,f?x??e2x.
x－1
3. 【2012全国，理21】已知函数f (x)满足f(x)＝f′(1)e(1)求f(x)的解析式及单调区间； (2)若f(x)≥
－f(0)x＋
12
x． 212
x＋ax＋b，求(a＋1)b的最大值． 2x－1
【解析】(1)由已知得f′(x)＝f′(1)e－f(0)＋x.
所以f′(1)＝f′(1)－f(0)＋1，即f(0)＝1. 又f(0)＝f′(1)e，所以f′(1)＝e. 从而f(x)＝e－x＋
xx－1
12
x. 2由于f′(x)＝e－1＋x，
故当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0； 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.
从而，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)由已知条件得e－(a＋1)x≥b.①
(ⅰ)若a＋1＜0，则对任意常数b，当x＜0，且x?不成立．
(ⅱ)若a＋1＝0，则(a＋1)b＝0.
x1?bx时，可得e－(a＋1)x＜b，因此①式a?1
所以f(x)≥
12
x＋ax＋b等价于 22
2
b≤a＋1－(a＋1)ln(a＋1)．②
因此(a＋1)b≤(a＋1)－(a＋1)ln(a＋1)． 设h(a)＝(a＋1)－(a＋1)ln(a＋1)， 则h′(a)＝(a＋1)(1－2ln(a＋1))．
所以h(a)在(－1，e?1)上单调递增，在(e?1，＋∞)上单调递减， 故h(a)在a=e?1处取得最大值． 从而h(a)?121212122
2
ee，即(a＋1)b≤. 22当a=e?1，b?故f(x)≥
e时，②式成立， 21212
x＋ax＋b. 2e. 2综合得，(a＋1)b的最大值为
4. 【2009全国卷Ⅰ，理22】
设函数f(x)=x+3bx+3cx有两个极值点x1、x2，且x1∈－1，0］，x2∈1,2］.
（Ⅰ）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b， c）的区域；
3
2
(Ⅱ)证明：－10≤f(x12)≤?2. 满足这些条件的点（b,c)的区域为图中阴影部分.
（Ⅱ）由题设知f′(x2
122)=3x2+6bx2+3c=0,故bx2??2x12?2c. 于是f(x2
2
1332)=x2+3bx2+3cx2=?2x?c22x2. 由于x2∈1,2］,而由（Ⅰ）知c≤0,故 -4+3c≤f(x2)≤?12?32c. 又由（Ⅰ）知-2≤c≤0,
所以-10≤f(x2)≤?1. 25. 【2008全国1，理19】（本小题满分12分） 已知函数f(x)?x?ax?x?1，a?R． （Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间；
32（Ⅱ）设函数f(x)在区间??，??2?31??内是减函数，求的取值范围． 3?
??a???（2）???a???a2?32≤?33a2?31≥?33，且a2?3解得：a≥7 4二．能力题组
1. 【2011全国新课标，理9】由曲线y?A．
x，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为( )
C．
10 3 B． 4
16 3D． 6
【答案】C 【解析】
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