2. 【2011全国，理8】曲线y＝e形的面积为( ) A.
－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角
112 B． C． D．1 323【答案】：A
?2x【解析】：y?|x?0?(?2e)|x?0??2，故曲线y?e?2x?1在点（0,2）处的切线方程为
1y??2x?2，易得切线与直线y?0和y?x围成的三角形的面积为。
33. 【2009全国卷Ⅰ，理9】已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切，则a的值为（ ） A.1 B.2 C.-1 D.-2 【答案】B
4. 【2008全国1，理7】设曲线y?（ ） A．2
B．
x?1在点(3，则a?2)处的切线与直线ax?y?1?0垂直，x?11 2
C．?1 2D．?2
【答案】D. 【解析】由y?x?1221?1?,y'??,y'|??,?a?2,a??2. x?32x?1x?12?x?1?xbex?15. 【2014课标Ⅰ，理21】（12分）设函数f(x)?aelnx?，曲线y?f(x)在点(1,f(1))x处的切线方程为y?e(x?1)?2. （I）求a,b;
（II）证明：f(x)?1.
【答案】（I）a?1,b?2；（II）详见解析.
三．拔高题组
1. 【2013课标全国Ⅰ，理21】(本小题满分12分)设函数f(x)＝x＋ax＋b，g(x)＝e(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2. (1)求a，b，c，d的值；
(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．
【解析】：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4. 而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝e(cx＋d＋c)， 故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4. 从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝x＋4x＋2，g(x)＝2e(x＋1)． 设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2ke(x＋1)－x－4x－2， 则F′(x)＝2ke(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(ke－1)． 由题设可得F(0)≥0，即k≥1. 令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2.
①若1≤k＜e，则－2＜x1≤0.从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0.即F(x)在(－2，x1)单调递减，在(x1，＋∞)单调递增．故F(x)在－2，＋∞)的最小值为
2
2
2
xxxx2
xxF(x1)．
而F(x1)＝2x1＋2－x1－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0. 故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立． ②若k＝e，则F′(x)＝2e(x＋2)(e－e)．
从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)单调递增． 而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立． ③若k＞e，则F(－2)＝－2ke＋2＝－2e(k－e)＜0. 从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立． 综上，k的取值范围是1，e]．
2
2
－2
－2
2
2
2
2x－2
2. 【2011全国新课标，理21】已知函数f(x)?切线方程为x＋2y－3＝0. (1)求a，b的值；
(2)如果当x＞0，且x≠1时，f(x)?alnxb?，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的x?1xlnxk?，求k的取值范围． x?1xa(【解析】(1)f?(x)?x?1?lnx)bx?.
(x?1)2x2?f(1)?1?b?11??由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1，1)，故?1即?a1解得
f?(1)???b??2??2??22?a?1 ??b?1
k(x2?1)?(x?1)2(ⅰ)设k≤0.由h?(x)?知，当x≠1时，h′(x)＜0.而h(1)＝0，故当x∈2x(0，1)时，h(x)＞0，可得
11；当x∈(1，＋∞)时，h(x)＜0，可得?h(x)?0h(x)?0.
1?x21?x2lnxk?)?0， x?1x从而当x＞0，且x≠1时，f(x)?(即f(x)?lnxk?. x?1x12
)时，(k－1)(x＋1)＋2x＞0，故h′(x)＞0.而h(1)＝0，1?k(ⅱ)设0＜k＜1.由于当x∈(1，
故当x∈(1，
11)时，h(x)＞0，可得h(x)?0，与题设矛盾． 1?k1?x2(ⅲ)设k≥1.此时h′(x)＞0，而h(1)＝0，故当x∈(1，＋∞)时，h(x)＞0，可得与题设矛盾．
综合得，k的取值范围为(－∞，0]．
3. 【2011全国，理22】(1)设函数f?(x)?ln(1＋x)?1h(x)?0.21?x2x，证明：当x＞0时，f(x)＞0； x?2(2)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p.证明：p?(9191)?2. 10e
由(1)知：当x＞0时，ln(1?x)?因此(1?)ln(1?x)?2. 在上式中，令x?所以p?(2x， x?22x11010，则19ln>2，即()19>e2. 9999191)?2. 10ex
2
4. 【2010新课标，理21】（12分）(理)设函数f(x)＝e－1－x－ax. (1)若a＝0，求f(x)的单调区间；
(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．
【解析】： (1)a＝0时，f(x)＝e－1－x，f′(x)＝e－1.
当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.故f(x)在(－∞，0)上单调减少，在(0，＋∞)上单调增加． (2)f′(x)＝e－1－2ax.
由(1)知e≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立， 故f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，
xxxx
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