(新课标Ⅰ)2018年高考数学总复习 专题03 导数分项练习(含解析)理

从而当1－2a≥0， 即a≤

1时，f′(x)≥0(x≥0)，而f(0)＝0， 21时， 2于是当x≥0时，f(x)≥0.

由e＞1＋x(x≠0)可得e＞1－x(x≠0)．从而当a＞

x－xf′(x)＜ex－1＋2a(e－x－1)＝e－x(ex－1)(ex－2a)，

故当x∈(0，ln2a)时，f′(x)＜0，而f(0)＝0，于是当x∈(0，ln2a)时，f(x)＜0. 综合得a的取值范围为(－∞，

1]． 25. 【2008全国1，理22】（本小题满分12分）

设函数f(x)?x?xlnx．数列?an?满足0?a1?1，an?1?f(an)． （Ⅰ）证明：函数f(x)在区间(0，1)是增函数； （Ⅱ）证明：an?an?1?1；

1)，整数k≥（Ⅲ）设b?(a1，a1?b．证明：ak?1?b． a1lnb

（ⅱ）假设当x?k(k?N*)时，ak?ak?1?1成立，即0?a1≤ak?ak?1?1 那么当n?k?1时，由f(x)在区间(0，1]是增函数，0?a1≤ak?ak?1?1得

f(ak)?f(ak?1)?f(1).而an?1?f(an)，则ak?1?f(ak),ak?2?f(ak?1)，

ak?1?ak?2?1，也就是说当n?k?1时，an?an?1?1也成立；

根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，an?an?1?1恒成立.

6. 【2006全国，理21】（本小题满分14分） 已知函数f(x)?1?x?ax.

1?xe（Ⅰ）设a?0,讨论y?f(x)的单调性；

（Ⅱ）若对任意x?(0,1)恒有f(x)?1，求a的取值范围。 【解析】：

（Ⅰ）f(x)的定义域为(??,1)?(1,??).对f(x)求导数得

ax2?2?a?axf?(x)?e. 2(1?x)2x2（i）当a?2时，f?(x)?e?2x，f?(x)在(??,0),(0,1)和(1,??)均大于0，所以f(x)2(1?x)在(??,1)，(1,??)为增函数.

（ii）当0＜a＜2时，f?＞0，f(x)在(??,1)，(1,??)为增函数. （x）（iii）当a?2时，0?a?2?1. a令f?(x)?0，解得x1??a?2,x2?aa?2. a当变化时，f?(x)和f(x)的变化情况如下表，

（??，?a?2a?2a?2a?2），），1） （? （ aaaa （1，??）f?(x) + ↗ － ↘ + ↗ + ↗ f(x) （??，?f(x)在

a?2a?2）（，1），，为增函数， （1，??）aa（?f(x)在

a?2a?2，）为减函数. aa

（iii）当a?0时，对任意x?(0,1)，恒有

1?x?1且e?ax?1，得 1?xf(x)?1?x?ax1?xe??1. 1?x1?x综上当且仅当a????,2?时，对任意x?(0,1)恒有f(x)?1.

7. 【2015高考新课标1，理12】设函数f(x)=e(2x?1)?ax?a,其中a1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)0，则的取值范围是（ ） (A)-x333333，1） (B)-，） (C)，） (D)，1）

2e2e42e42ex【答案】D

【解析】设g(x)=e(2x?1)，y?ax?a，由题知存在唯一的整数x0，使得g(x0)在直线

11所以当x??时，g?(x)＜0，当x??时，g?(x)y?ax?a的下方.因为g?(x)?ex(2x?1)，

22?1[g(x)]max=-2e2，＞0，所以当x??时，当x?0时，直线y?ax?ag(1)?3e?0，g(0)=-1，21恒过（1,0）斜率且，故?a?g(0)??1，且g(?1)??3e??a?a，解得

?13≤＜1，故选D. 2e

【考点定位】本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题 8. 【2015高考新课标1，理21】已知函数f（x）=x3?ax?(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线y?f(x) 的切线；

（Ⅱ）用min ?m,n? 表示m,n中的最小值，设函数h(x)?minf(x),g(x)论h（x）零点的个数. 【答案】（Ⅰ）a?1,g(x)??lnx. 4??(x?0) ，讨

33535；（Ⅱ）当a??或a??时，h(x)由一个零点；当a??或a??4444453?a??时，h(x)有三个零点. 44时，h(x)有两个零点；当?

（Ⅱ）当x?(1,??)时，g(x)??lnx?0，从而h(x)?min{f(x),g(x)}?g(x)?0， ∴h(x)在（1，+∞）无零点. 当=1时，若a??零点；若a??零点.

当x?(0,1)时，g(x)??lnx?0，所以只需考虑f(x)在（0,1）的零点个数.

55，则f1()?a?0?，h(1)?min{f(1),g(1)}?g(1)?0,故=1是h(x)的4455，则f(1)?a??0，h(1)?min{f(1),g(1)}?f(1)?0,故=1不是h(x)的44()3?x(ⅰ)若a??3或a?0，则f?x2a?在（0,1）无零点，故f(x)在（0,1）单调，而f(0)?1， 4