（iv） 在p（x）的连续点处，有F′(x)＝p(x)。 概率分布密度函数p（x）的图形如图1－2所示。
3. 随机变量的分布函数
若ξ是一个随机变量，x是任意实数，函数
F（x）＝P(ξ≤x)
称为随机变量ξ的概率分布函数，简称分布函数。
对离散型随机变量ξ，分布函数为
F（x）＝P（ξ≤x）＝?P(xk)，(k=0,1,2,??;-∞ xk?x如图1-3所示。 对连续型随机变量ξ，p(x)为其分布密度，则分布函数为 xF（x）＝P（ξ≤x）＝如图1-4所示。 ???p(x)dx （－∞ 连续型随机变量的分布函数的几何意义是，分布函数等于位于x左方的分布密度曲线下的面积。 根据定义，随机变量的分布函数F（x）具有以下性质： （i） F(x)是一个非减函数，即若x1 F(x)＝0, F(+∞)＝limF(x)＝1 （iii） F(-∞)＝xlim???x???（iv） 对任意实数a和b（a P(a<ξ≤b)＝P(ξ≤b）-P(ξ≤a）＝F(b)– F(a) 三、正态分布（Gauss 高斯分布） 1. 正态分布的定义 随机变量的分布形式有多种，但最重要，最常用的是所谓的正态分布。自然界中许多随机变量的分布均服从正态分布。此外，还有许多随机变量近似服从正态分布。正态分布的数学表达式首先由高斯（Gauss）给出，所以也叫高斯分布。 设随机变量ξ的分布密度函数为 p(x）＝1e?2??(x??)22?2 （-∞ 其中μ和?都是常数，且?>0，则称ξ服从参数为μ和?2的正态分布，记作N（μ，?2）。为方便起见，常把随机变量ξ服从参数为μ和?2的正态分布简记为ξ～ N（μ，?2）。 正态分布的分布函数为 1F（x）＝?2?x???e?(t??)22?2dt （-∞ 特别的，当μ＝0和?＝1时称ξ服从标准正态分布，记作ξ～N(0，1)。此时，其分布密度函数用?（x）表示，即 ?（x）＝ 12?e?x22 (-∞ 相应地，分布函数用Φ（x）表示，即 Φ（x）＝ 12?x???e?t22dt (-∞ 正态分布是一种十分重要的分布，在实际上也是最常见的一种分布，如产品的质量指标、人的身高、体重及测量的误差等一般认为是服从正态分布的。 （面相、手相、算命等传统民间文化，实质上就是把人的一生的命运按概率分布函数进行计算和推测！可是，这些分布密度函数---经验公式的适用条件是什么？？？） 2. 正态分布密度函数的特点 （i） p(x）≥0； ??（ii） ???p(t)dt?1； （iii） p(x)的图形对称于x＝μ； （iv） 当x???时 p(x)?0； （v） 在x＝μ处，p(x）有极大值 1。 ?2?μ和?是正态分布的两个重要参数,决定着正态分布密度曲线的位置和形状。μ决定位置，?决定形状。 3.正态分布的概率计算 标准正态分布函数Φ(x）＝ 12?xt22???e?dt在实际工作中广泛应用， 但它难以直接进行积分运算，通常是查表，参见书后的附表1。 若ξ～N(0，1)，对任意a 12?bt22?ae?dt＝Φ(b)－Φ(a) Φ(b）和Φ(a）可从附表1中查得。 若ξ～N(μ，?2)，对任意α<β，有 P（?<ξ≤β）＝?( ??????)??() ??
相关推荐：
loading