概率论与数理统计基础 - 图文

换言之，容量大的样本均值作为总体均值的估计量更为有效。

二．参数的区间估计

参数的点估计是利用样本来构造统计量，再把样本值代入估计量求出估计值来实现的。但是由于样本的随机性，这样的估计值不见得就是待估参数的真值。那么，它们的近似程度如何？误差的范围有多大？可信的程度如何？这样一些在参数估计中应确切说明的问题在点估计中是难以回答的。因此，我们希望能够根据样本给出待估参数的一个范围，使它能够以较大的概率包含待估参数的真值，这就是对未知参数的区间估计。

区间估计是要根据样本来确定一个区间（?1, ?2），使参数θ落在这个区间内的概率等于一个给定的数1-α，即P(?1<θ

下面对正态总体ξ的数学期望和方差作区间估计。 1、正态总体数学期望（均值μ）的区间估计 （1）已知?2，求μ的置信区间

设总体ξ～N(μ, ?2)，且?2已知，(ξ1、ξ2、?ξn)是来自正态总体的一个样本，则由式(1-3)和(1-4)可知：

?2 ?～N(μ，)，

n??????u＝???～N(0，1) ?/n 根据正态分布的性质，对给定的信度α，查标准正态分布的上侧分位数Uα表，可得u?，使得：

2P(|u|

2即P（ ??? < u? )=1-α ?/n2

P（??u?2?n<μ

?n 所以μ的置信区间为（??u?2，??u?2?n）.

讨 论：

1）当样本容量n越大时，u?2?n越小，计算到的置信区间越小，

估计效果越好。因此，为提高区间估计精度，可以增大样本容量。 2）用上述方法进行区间估计，先决条件是总体必须服从正态分布，而且?2为已知。如果不是正态分布，但样本容量n充分大时，?近似服从正态分布 u＝?～N(μ, ?2/n)，

???近似服从N(0,1)，故对于大样（n≥30），?/n不管总体是否正态，都可以对总体均值μ进行区间估计。

（2）未知?2，求μ的置信区间

在实际问题中，往往只知道总体服从正态分布，而数学期望μ和方差?2均为未知，在这种情况下求期望的置信区间，可用样本方差S2代替总体方差?2，用S2所构造的t变量代替u变量来进行。

设样本(ξ1,ξ2?ξn)来自正态总体N(μ, ?2)，则可知t＝

???S/n～t(n?1)

对于给定的信度α，自由度f＝n－1，查t分布表可得临界值t?，

2使得

P(|t|

2,fP（???S/n,f

2,fP(??t?2SS<μ

,fnn2,f于是得到μ的置信区间为：(??t?2SS，??t?).

,fnn2

2．方差的区间估计

在实际问题中考虑精度的稳定性时，需要对方差进行区间估计，即要根据样本找出正态总体方差D(ξ)＝?2的置信区间。

设样本(ξ1、ξ2、?ξn)来自正态总体N(μ, ?2)，则

?2 ＝

(n?1)S2?2～?2(n?1)

其中 S2

=1n?1(?i??)2n? i?1对于给定的信度α，由自由度f＝n－1,查?2分布表，可得出对

应的两侧临界值?2?f和?21??，使得：

2,2,fP（?221??

2,fP（?21)S21??,<

（n?2f?2

(n?1)S22S2?2

(n?1)）=1－α

?2,f?21??2,f ∴?2置信区间为（(n?1)S2(n?1)S2?2,

2）

?2,f?1??2,f

1.4 统计假设检验

一、假设检验的基本概念 1、问题的提出

前面我们介绍了对总体的未知参数的估计方法——点估计和区间估计.下面将介绍统计推断中的另一类重要问题——假设检验.采用的方法是:首先对总体ξ的未知参数的数值提出假设（假设产生于对随机现象的实际观察，或者产生于对随机现象的理论分析），然后利用样本提供的信息来检验所提出的假设是否合理，这种方法称为对参数的假设检验。对未知参数提出的假设，通常用H0表示，称为待检假设。

例1-10 奶粉包装机正常工作时，包装量服从正态分布，根据长期的经验得知其标准差σ＝15g，而额定标准为每袋500g，现随机抽取奶粉9袋，其净重分别为498、508、518、526、488、513、510、516、513，问：根据这9个数据，能否判定包装机是否正常工作？ 在这里，已经知道了包装量ξ服从正态分布，所谓工作正常是指均值μ＝500。因此，本问题就归结为判断总体均值μ是否等于μ0＝500。

我们假设包装机正常工作，记为H0：μ＝μ0＝500

H0是假设的符号，于是所求的问题就转化为根据9个样本数据检验假设H0是否正确。下面讨论如何根据样本提供的信息来检验假设H0是否成立。

2、假设检验的基本思想

假设检验的基本思想是依据“小概率事件在一次实验中几乎是不可能出现的”。

设有某H0需要检验，我们先假设H0为正确，在此假设下，某事件A的概率很小，例如P(A)＝0.05或者0.01，经过一次试验后，如果A出现了，那么便出现了一个小概率事件。由于“小概率事件在一次实验中几乎是不可能出现的”，而现在居然出现了，这就不能不使人怀疑H0的正确性。因而自然要否定H0。反之，如果A不出现，一般就先肯定或者保留H0。