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崇文区2009－2010学年度第二学期统一练习（二）
高三数学（理科）参考答案及评分标准 2010.5
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
题号 答案 （1） A （2） B （3） D （4） B （5） B （6） C （7） D （8） A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9）(0,] （10）233 （11）x1?x2?x3；s2?s1?s3
4431（12）?；
22 （13）①，③ （14）3018
三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共12分）
解：（Ⅰ）由已知得：cos??∵?,?为锐角 ∴sin??255,sin??1755,cos??7210．
210．
∴ tan??2,tan??．
1717?3．--------------------6分
∴tan(???)?tan??tan?1?tan??tan?41?42??1?2?43（Ⅱ）∵tan2??2tan?1?tan?2???[来源:Zxxk.Com]
4317)?17??1．
∴tan(2???)?tan2??tan?1?tan2??tan????431?(? ??,?为锐角，
∴0?2????3?43?2，
∴2????． -----------12分
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（16）（共14分）
解：（Ⅰ）如图，以D为原点建立空间直角坐标系D?xyz．
则D(0,0,0)，D1(0,0,2)[来源:学科网ZXXK] B1(2,2,2)，C(0,2,0)，A(2,0,0)，
??????????????∴AD1?(?2,0,2)，AC?(?2,2,0)，B1D?(?2,?2,?2)． ??????????z ?AD1?B1D?4?0?4?0， ?????????AC?B1D?4?4?0?0
D1 C1 又AC与AD1交于A点
???????????????????AD1?B1D，AC?B1D
A 1 B 1 E D O ∴B1D?平面D1AC．------------4分 （Ⅱ）设A1D与D1O所成的角为?．
D1(0,0,2)，O(1,1,0)，A1(2,0,2)．
C y
????? ∴A1D?(?2,0,?2)，
?????D1O?(1,1,?2)．
??????????|A1D?D1O|2? ∴cos???????|A1D|?|D1O|22??A x 3B 66．
36所求异面直线A1D与D1O所成角的余弦值为（Ⅲ）设平面AEC与直线D1O所成的角为?．
设平面AEC的法向量为n?(x,y,z)．
．---------------9分
????????33E(2,2,)，C(0,2,0)，A(2,0,0)，AE?(0,2,)，EC?(?2,0,?)．
22233?????x??z???n?AE?0?4 ?????????y??3z?n?EC?0??4令z?1，则x??343434,y??34
?n?(?,?,1)．
??????????|n?D1O|751??????． ?sin??|cos?n,D1O?|?51|n|?|D1O|学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网eduu.gaokao.com
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所求平面AEC与直线D1O所成角的正弦值为（17）（共13分）
75151．--------------------14分
解：（Ⅰ）甲、乙、丙三名学生每人选择五门选修课的方法数是5种，
故共有5?5?5?125（种）．
（Ⅱ）三名学生选择三门不同选修课程的概率为：
A5533?1225．
12251325 ∴三名学生中至少有两人选修同一门课程的概率为：1?（Ⅲ）由题意：X?0,1,2,3．
P(X?0)?4533?．
?64125?； P(X?1)?C3?45C3533312?148125；
P(X?2)?C3?453212125； P(X?3)??．
125?的分布列为
X P 0 64125641251 2 3 4812548125 1212512125 1125135 数学期望EX?0?（18）（共14分）
?1??2??3?125=．---------------- 13分
解：（Ⅰ）依题意，知f(x)的定义域为(??,0).
当a?0时，f(x)??2ln(?x)?'令f(x)?0，解得x??1x，f(x)?'?2x?1x2??(2x?1)x2．
12.
当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：
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由上表知：当x??121'x f(x) (??,?12) ?12 (?12,0) ? 0 极大值 ? f(x) 单调递增 单调递减 时，f'(x)?0；当x??时，f'(x)?0. 221故当x??时， f(x)取得极大值为2ln2?2.-------------------5分
a(2x?1)(x??x21（Ⅱ）f(x)?'a?2x?1x2?2a?(a?2)x?1?2axx22)a
12若a?0，令f'(x)?0，解得：x??1212；令f'(x)?0，解得：??x?0.
若a?0，①当?2?a?0时，? 令f'(x)?0，解得：
?1a
12121a?x??1a；
?x?0.
令f'(x)?0，解得：x?12121a1a或? ②当a??2时，??，f(x)?
121a1a'?(2x?1)x22?0
③当a??2时，?'? 令f(x)?0，解得：??x?12；
' 令f(x)?0，解得：x??或?x?0.
12综上，当a?0时，f(x)的增区间为(??,?12)，减区间为(?12,0)；
1a12 当?2?a?0时，f(x)的增区间为(,?a1)，减区间为(??,)，(?,0)；
当a??2时，f(x)的减区间为(??,0),无增区间；
当a??2时，f(x)的增区间为(?1111,)，减区间为(??,?)，(,0). 2a2a学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网eduu.gaokao.com
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-------------14分
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）（ⅰ）∵ 圆O过椭圆的焦点，圆O：x2?y2?b2，
∴ b?c，
∴ b2?a2?c2?c2， ∴ a2?2c2， ∴e?22．
2b，
（ⅱ）由?APB?90?及圆的性质，可得OP?∴OP2?2b?a,
22∴a2?2c2 ∴e?212，
22?e?1． ---------------- 6分
（Ⅱ）设P?x0,y0?,A?x1,y1?,B?x2,y2?，则
y0?y1x0?x1??x1y1
22整理得x0x?y0y?x1?y1
?x1?y1?b
2 ∴PA方程为：x1x?y1y?b，
222PB方程为：x2x?y2y?b．
2∴x1x?y1y?x2x?y2y， ∴
y2?y1x2?x1??x0y0,
x0y0直线AB方程为 y?y1??b2?x?x1?，即
x0x?y0y?b．
2令x?0，得ON?y?a22y02，令y?0，得OM?x?2b2x0，
∴?b22?ay0?bx0b422?abb422?ab22，
ONOM?b∴
a2222为定值，定值是
ab22． ----------------14分
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（20）（共13分）
解：（Ⅰ）由题意知，ai,bi?M，ai?bi，首先考虑M中的二元子集有 ?1,2?,?1,3,?,?,?5,6?，共15个，即C62?15个．
又ai?bi，满足
aibi?ajbj的二元子集有：
aibi12?1,2?,?2,4?,?3,6?，此时?1,3?,?2,6?，此时?2,3?,?4,6?，此时
aibiaibi?1323?，
，
?，共7个二元子集．
故集合A中的元素个数k?15?7?3?11．---------------- 4分
（Ⅱ）列举A?{,,11111223345,,,,,,,,}
23456354556354556,,,,,} 22334511 B?{2,3,4,5,6,11 ?ei?e'j?i?j?i?1,j?111ei?e'j?11?i?j?1ei?e'j
115896039??11?．----------8分 22040 ??i?1ei?e'j?11?j?1（Ⅲ）由（Ⅱ）列举符合题意的有：
12?32?2，
12?52?3，
13?53?2，
23?43?2，
34?54?2，
45?65?2，
共6对． 所求概率为：p?
6121． ----------13分
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