高中数学导数单元测试题
一选择题
11、点P在曲线y?x3?3x上移动，设点P处切线的倾斜角为?，则角?的取值范围是 （ ）
3?2?2??2????
A．?0,? B．[0,)U[,?) C．[,?) D．(,]
23323?2?
2、已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是 ( )
3、下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是
( )
①f(x)＞0的解集是{x|0＜x＜2}；②f(－2)是极小值，f(2)是极大值；③f(x)没有最小值，也没有最大值． A．①③
B．①②③ C．②
D．①②
4、已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是( ) A．－1＜a＜2
B．－3＜a＜6 C．a＜－3或a＞6 D．a＜－1或a＞2
( )
5、函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是 A．12，－15 B．－4，－15 C．12，－4 D．5，－15
26、设a＜b,函数y?(x?a)(x?b)的图像可能是
[a,b]7、若函数y?f(x)的导函数在区间上是增函数，则函数y?f(x)在区间[a,b]上的图象可能是（ ） ．．．y y y y o a b x 3o 2a
o b x a
o b x a
b x
8、若函数f(x)?x?ax?x?6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A．a?1 B．a?1 C．a?1 D．0?a?1 9、、已知函数y?f(x)的导函数y?f?(x)的图像如右图，则（ ） A．函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点 B．函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点 C．函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点 D．函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点
10、设a?R，若函数y?e?3x，x?R有大于零的极值点，则（ ）
axA．a??3 11、函数y?4x2? B． a??3
C．a?? D．a??
13131的单调递增区间是（ ） x11A．(0,??) B．(,??) C．(??,?1) D．(??,?)
22x12、函数f(x)?(x?3)e的单调递增区间是（ ）
A．(??,2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2,??)
选做题：若函数f(x)?ax?bx?cx?d的图象如图所示，且x1?x2?0，则（ ）
A．b?0,c?0 C．b?0,c?0
B．b?0,c?0 D．b?0,c?0
32二、填空题
13、已知f (x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5),则f ′(0)为 ___________
14、设a?R，若函数y?ex?ax(x?R)有大于零的极值点，则a的取值范围__________．
15.某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)?x2(_____________
60?x)(0?x?60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为2
11
16.已知函数f(x)＝ax－x4，x∈[，1]，A、B是其图象上不同的两点．若直线AB的斜率k总满足≤k≤4，则实数a的值
22是________．
3217.已知函数f(x)?x?ax?bx?c在x??2处取得极值,并且它的图象与直线y??3x?3在点( 1 , 0 ) 处相切, 求a , c的值.
9１8.设函数f(x)?x3?x2?6x?a．
2（Ⅰ）对于任意实数x，f'(x)?m恒成立，求m的最大值；（Ⅱ）若方程f(x)?0有且仅有一个实根，求a的取值范围． １９.已知函数f(x)?x?(1?a)x?a(a?2)x?b (a,b?R)．
（I）若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是?3，求a,b的值； （II）若函数f(x)在区间(?1,1)上不单调，求a的取值范围． ．．．２０.设函数f(x)?x?3ax?b(a?0).
（Ⅰ）若曲线y?f(x)在点(2,f(x))处与直线y?8相切，求a,b的值； （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间与极值点. 21.证明不等式：ln(x+1)>x-kx33212
x222.设函数f(x)?xe(k?0)．
（1）求曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；（2）求函数f(x)的单调区间； （3）若函数f(x)在区间(?1,1)内单调递增，求k的取值范围
参考答案
18、解析 (1) f(x)?3x?9x?6?3(x?1)(x?2),
因为x?(??,??),f(x)?m, 即 3x?9x?(6?m)?0恒成立, 所以 ??81?12(6?m)?0, 得m??''2'233，即m的最大值为? 44'' (2) 因为 当x?1时, f(x)?0;当1?x?2时, f(x)?0;当x?2时, f(x)?0; 所以 当x?1时,f(x)取极大值 f(1)?5?a; 2 当x?2时,f(x)取极小值 f(2)?2?a;
故当f(2)?0 或f(1)?0时, 方程f(x)?0仅有一个实根． 解得 a?2或a?219、解析：（Ⅰ）由题意得f?(x)?3x?2(1?a)x?a(a?2)
5． 2 又??f(0)?b?0?f?(0)??a(a?2)??3 （Ⅱ）函数f(x)在区间(?1,1)不单调，等价于
导函数f?(x)在(?1,1)既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数f?(x)在(?1,1)上存在零点，根据零点存在定理，
有f?(?1)f?(1)?0，即：[3?2(1?a)?a(a?2)][3?2(1?a)?a(a?2)]?0
2 整理得：(a?5)(a?1)(a?1)?0，解得?5?a??1
'220、解：（Ⅰ）f?x??3x?3a,
∵曲线y?f(x)在点(2,f(x))处与直线y?8相切，
'??a?4,?f?2??0??3?4?a??0????∴?
b?24.??f?2??8?8?6a?b?8?? ，解得b?0，a??3或a?1
（Ⅱ）∵f'?x??3x2?a当a?0时，f'???a?0?,
?x??0，函数f(x)在???,???上单调递增，
'此时函数f(x)没有极值点.
?x??0?x??a，
'当x????,?a?时，f?x??0，函数f(x)单调递增，
'当x???a,a?时，f?x??0，函数f(x)单调递减，
'当x??a,???时，f?x??0，函数f(x)单调递增，
当a?0时，由f∴此时x??a是f(x)的极大值点，x?a是f(x)的极小
21、解：（I）当x?40时，汽车从甲地到乙地行驶了
要耗没(100?2.5小时， 4013?403??40?8)?2.5?17.5（升）。
12800080答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。
100小时，设耗油量为h(x)升， x131001280015依题意得h(x)?(x3?x?8).?x??(0?x?120),
12800080x1280x4（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了
x800x3?803h'(x)???(0?x?120).令h'(x)?0,得x?80.
640x2640x2
当x?(0,80)时，h'(x)?0,h(x)是减函数；当x?(80,120)时，h'(x)?0,h(x)是增函数。
∴当x?80时，h(x)取到极小值h(80)?11.25.因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值。 答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25 22、解：（Ⅰ）f'?x???1?kx?ekx,f'?0??1,f?0??0,曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y?x. （Ⅱ）由f'?x???1?kx?ekx?0，得x?? 若k?0，则当x????,?当x???1?k?0?， k??1?'?时，f?x??0，函数f?x?单调递减， k??1?,??,?时，f'?x??0，函数f?x?单调递增， ?k?1??若k?0，则当x????,??时，f'?x??0，函数f?x?单调递增，
k???1? 当x???,??,?时，f'?x??0，函数f?x?单调递减，
?k?1（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若k?0，则当且仅当???1，即k?1时，函数f?x???1,1?内单调递增，
k1若k?0，则当且仅当??1，即k??1时，函数f?x???1,1?内单调递增，
k综上可知，函数f?x???1,1?内单调递增时，k的取值范围是
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