︵︵︵
16．(2019·创新题)如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中CD，DE，EF的圆心依次是A，B，C，如果AB＝1，那么曲线CDEF的长是________．
参考答案
【基础训练】
1．A 2.C 3.C 4.C 5.C 6．2π 7.π 8.12＋43 9．解：∵AD⊥BC，∠EPF＝40°， ∴∠EAF＝2∠EPF＝80°， 80π×48π∴S扇形EAF＝＝，
36091
S△ABC＝AD·BC＝4，
2
8π∴S阴影部分＝S△ABC－S扇形EAF＝4－.
9
10．(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°. ∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°， 即OC⊥AD，∴AE＝ED. ︵︵
(2)解：∵OC⊥AD，∴AC＝CD， ∴∠ABC＝∠CBD＝36°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°， ︵72π×5∴AC的长为＝2π.
180【拔高训练】 11．A 12.C 101113. 14.π
36
15．(1)证明：如图，作OH⊥AC于点H.
∵AB＝AC，AO⊥BC于点O，∴AO平分∠BAC. ∵OE⊥AB，OH⊥AC，∴OH＝OE， ∴AC是⊙O的切线．
(2)解：∵点F是AO的中点，∴AO＝2OF＝6. ∵OE＝3，∴∠OAE＝30°，∠AOE＝60°， ∴AE＝3OE＝33，
160·π·3
∴S图中阴影部分＝S△AOE－S扇形EOF＝×3×33－ 2360＝
93－3π. 2
2
(3)解：BP＝3.
提示：如图，作F点关于BC的对称点F′，连接EF′交BC于点P. ∵PF＝PF′，
∴PE＋PF＝PE＋PF′＝EF′，此时EP＋FP最小． ∵OF′＝OF＝OE，∴∠F′＝∠OEF′. 而∠AOE＝∠F′＋∠OEF′＝60°， ∴∠F′＝30°，∴∠F′＝∠EAF′， ∴EF′＝EA＝33， 即PE＋PF最小值为33. 在Rt△OPF′中，OP＝在Rt△ABO中，OB＝
3
OF′＝3， 3
33
OA＝×6＝23， 33
∴BP＝23－3＝3，
即当PE＋PF取最小值时，BP的长为3. 【培优训练】 16．4π
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