天津市七校联考2020届高三下学期期末考试数学（理）试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设定义在R上的偶函数f(x)满足：f(x)?f(4?x)，且当x?[0,2]时，f(x)?x?ex?1，若
a?f(2018)，b?f(2019)，c?f(2020)，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c?b?a C．c?a?b
D．b?a?c
B．a?b?c
2．我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202-1261）在他的著作（数书九章）中提出了多项式求值的秦九韶算法.如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例.若输入的图计算的结果为（ ）
，
，
，则程序框
A．15 B．31 C．63 D．127
3．已知集合A??(x,y)|y?x?1,个数为（ ） A．1
B．2
C．3
D．4
x?R?，集合B??(x,y)|y?x2,x?R?，则集合A?B的子集
4．某高为4的三棱柱被一个平面截去一部分后得到一个几何体，它的三视图如图所示，则该几何体的体积与原三棱柱的体积之比是（ ）
A．
3 4B．
5 1213C．2 D．8
uuuruuuruuuruuuruuur5．在△ABC中，E为AC上一点，AC?3AE，P为BE上任一点，若AP?mAB?nAC(m?0,n?0)，
则
31?的最小值是 mnB．10
D．12
A．9 C．11
6．已知三棱锥S?ABC中，SA?平面ABC，且?ACB?的外接球的体积为( )
?6，AC?2AB?23,SA?1.则该三棱锥
1313?13?1313?86A． B．13? C．6 D．
7．在?ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a2?b2?A．30 B．60 C．120 D．150
rrrrrrrr8．已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，且|b?a|=2，则向量a与b的夹角的余弦值为（ ）
oo 3bc,sinC?23sinB，则角A为（ ）
oo2222A．2 B．3 C．8 D．4
9．设e1，e2分别为具有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足
uuuruuuur11?2，则PF1?PF2?0e12e211A．2 B．3 C．2
的值为（ ）
D．不确定
10．已知函数f(x)?sin(?x??)（??0，|?|???），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数24y?f(x)的图象向左平移
A．关于点(?3?个单位后，得到的图象关于y轴对称，那么函数y?f(x)的图象（ ） 16B．关于点(?16x?,0)对称
?16,0)对称
?16对称 D．关于直线
x??C．关于直线11．关于函数A．C．
π4对称
，下列说法错误的是( )
B．
是周期函数
在
上单调递增
是奇函数 是
的唯一零点 D．
12．若l，m为两条不同的直线，?为平面，且l??，则“m//?”是“m?l”的 A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若x，y满足约束条件14．函数f?x???x?2y?2?0??x?y?1?0?y?0?z?，则
y?1x?5的最小值为__________.
tan2xx?x2的定义域为__________．
15．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若为315，则sinA的值等于________.
cosB??1ABC的面积4，a?6，V16．在三棱锥A?BCD中，?ABC与?BCD都是边长为1的正三角形，则当三棱锥A?BCD的体积最大时，其外接球的表面积为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是菱形，PA?平面ABCD，且?BAD?点M是PC的中点.
2?，3求证：PA//平面MDB；设菱形ABCD的边长为a，若PB?PD，三棱
6锥P?ABD的体积为3，求a的值.
18．（12分）已知数列
?an?满足an?1?an?1?2(an?an?1)(n?2),a1?1,a2?7，令bn?an?1?an求证数列
?bn?为等比数列，并求bn通项公式；求数列?an?的前n项和Sn.
19．（12分）已知单调等比数列?an?，首项为
11，其前n项和是Sn，且a3?S3，S5，a4?S4成等差2211bn?(2)c?a?数列，数列?bn?满足条件求数列?an?、?bn?的通项公式；设n，记数列na1a2a3Lanbn?cn?的前n项和是T①求Tn；
n.
②求正整数k，使得对任意n?N，均有
*Tk?Tn.
20．（12分）某商场营销人员进行某商品M市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品当天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表： 反馈点数x 销量（百件）/天 1 0.5 2 0.6 3 1 4 1.4 5 1.7 （1）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品一天销量y（百件）与该天返还点数x之间的相关
??a?，并预测若返回6个点时该商品当天销量；若关系.请用最小二乘法求y关于x的线性回归方程y?bx节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表： 返还点数预期值区间（百分比） 频数 将对返还点数的心理预期值在
?1,3? 20 ?3,5? 60 ?5,7? 60 ?7,9? ?9,11? ?11,13? 30 20 10 ?1,3?和?11,13?的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”
消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽
取3名进行跟踪调查，求抽出的3人中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的概率.（参考公式及数据：①回
?归方程a?y?bx，其中
21．（12分）已知数列
??b??ni?1iin2ii?1xy?nxy2x?n?x?，
xiyi?18.8??a?y?bx，；②i?1.）
.设
5{an}满足
a1?a2an?an?1?n?1Sn.
bn?an?n.判断数列
{bn}是否为等比数列，
并说明理由；若a?2，求
{an}的前n项和
22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线
??x?3?t?2?y?3t（t为参数）l的参数方程为?，曲线C的极坐标方程为?sin??4cos?.求曲线C的直角坐标方
程和直线l的普通方程；设直线l与曲线C交于A,B两点，点
P?3,0?，求
PA?PB的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．B 2．C 3．D 4．B 5．D 6．D 7．A 8．D 9．C 10．B 11．D 12．A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．?4 14．?0,??????????,1? 4??4?31515．16
5π16．3
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）a?2. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）证明PA//平面MDB，需要在平面MDB中找出一条直线平行于PA，连接AC交DB于点N，连接MN便可得证；
（Ⅱ）由三棱锥P?ABD的体积为【详解】
解：（Ⅰ）连接AC，与BD交于点N，连接MN. 由底面ABCD是菱形，知点N是AC的中点， 又点M是PC的中点，∴MN//PA， 又MN?平面MDB，PA?平面MDB，
6，可以得出一个关于a的方程，即可求出a的值. 3
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