圆锥曲线中档题目精选1

圆锥曲线中档题目精选1

一．解答题（共30小题） 1．（2015?崇明县一模）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，椭圆的两焦点与椭圆短轴的一个端点构成等边三角形，右焦点到右顶点的距离为1． （1）求椭圆C的标准方程；

（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

2．（2015?兴国县一模）已知抛物线y=2px（p＞0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0） ①求抛物线方程； ②求△ABS面积的最大值．

2

成立？若存在，

3．（2015?路南区二模）已知抛物线y=4x，直线l：y=﹣x+b与抛物线交于A，B两点． （Ⅰ）若x轴与以AB为直径的圆相切，求该圆的方程； （Ⅱ）若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB面积的最大值．

4．（2015?黄冈模拟）已知抛物线y=4x的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1，F2为焦点的椭圆C，过点（1，

），

22

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设T（2，0），过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，且最小值．

5．（2015?惠州模拟）椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为

．

=λ

，若λ∈[﹣2，﹣1]，求|

+

|的

2

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

6．（2015?惠州模拟）已知椭圆C1的离心率为e=（y﹣3）=r（r＞0）截得的弦长为2

2

2

，过C1的左焦点F1的直线l：x﹣y+2=0被圆C2：（x﹣3）+

2

．

（1）求椭圆C1的方程；

（2）设C1的右焦点为F2，在圆C2上是否存在点P，满足|PF1|=点的坐标）；若不存在，说明理由．

7．已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x=2的距离之比为

，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴|PF2|，若存在，指出有几个这样的点（不必求出

的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y=mx+n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合） （Ⅰ）求曲线E的方程； （Ⅱ）当直线l与圆x+y=1相切时，四边形ABCD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．

8．（2015?河南一模）已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为

，且一个焦点坐标为（

，0）．

2

2

（1）求椭圆M的方程；

（2）设直线l与椭圆M相交于A、B两点，以线段OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点，求点O到直线l的距离的最小值．

9．（2015?衡南县二模）已知椭圆C：

=1的左焦点F1的坐标为（﹣

，0），F2是它的右焦点，点M是椭

圆C上一点，△MF1F2的周长等于4+2． （1）求椭圆C的方程；

（2）过定点P（0，2）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且OA⊥OB（其中O为坐标原点），求直线l的方程． 10．（2015?横峰县一模）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点． （1）求椭圆的方程；

（2）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

11．（2015?杨浦区一模）如图，曲线Γ由曲线C1：

和曲线C2：

组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点， （1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；

（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；

（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求△CDF1面积的最大值．

12．（2015?株洲一模）如图，焦点在x轴的椭圆C：

+

=1（b＞0），点G（2，0），点P在椭圆上，且PG⊥x轴，

连接OP交直线x=4于点M，连接MG交椭圆于A、B． （Ⅰ）若G为椭圆右焦点，求|OM|； （Ⅱ）记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求k1+k2的取值范围．

13．（2015?邢台模拟）已知圆C：（x+1）+y=20点B（l，0）．点A是圆C上的动点，线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P．

（I）求动点P的轨迹C1的方程； （Ⅱ）设

面积的最大值．

14．（2015?成都一模）设椭圆C：

的离心率e=

，左顶点M到直线

=1的距离d=

，

，N为抛物线C2：y=x上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交曲线Cl于P，Q两点，求△MPQ

22

2

O为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB的面积S的最小值． 15．（2015?邢台模拟）已知A（﹣2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，△APB面积的最大值为2． （I）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）若直线AP的倾斜角为关系，并加以证明．

，且与椭圆在点B处的切线交于点D，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置

16．（2015?沈阳一模）已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0），e=，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭

圆C交于点A、B，点A，B的中点横坐标为，且（Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）求实数λ的值．

=λ（其中λ＞1）．

17．（2014?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆

+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点

B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C． （1）若点C的坐标为（，），且BF2=（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．

，求椭圆的方程；

18．（2014?北京）已知椭圆C：x+2y=4．

（Ⅰ）求椭圆C的离心率； （Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．

19．（2014?安徽）设F1，F2分别是椭圆E：

+

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B

2

2

两点，|AF1|=3|F1B|． （Ⅰ）若|AB|=4，△ABF2的周长为16，求|AF2|； （Ⅱ）若cos∠AF2B=，求椭圆E的离心率．

20．（2014?陕西）已知椭圆F2（c，0）． （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线l：y=﹣x+m与椭圆交于A、B两点，与以F1F2为直径的圆交于C、D两点，且满足直线l的方程．

=

，求

+

=1（a＞b＞0）经过点（0，

），离心率为，左右焦点分别为F1（﹣c，0），