2020届中考模拟赤峰市中考数学模拟试卷(含参考答案)(Word版)

.

即S△ABC=absin∠C 同理S△ABC=bcsin∠A S△ABC=acsin∠B

通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理： 如图2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则 a2=b2+c2﹣2bccos∠A b2=a2+c2﹣2accos∠B c2=a2+b2﹣2abcos∠C

用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：

（1）如图3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8．求S△DEF和DE2． 解：S△DEF=EF×DFsin∠F= 6

；

DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F= 49 ．

（2）如图4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：S1+S2=S3+S4．

【考点】KY：三角形综合题．

【分析】（1）直接利用正弦定理和余弦定理即可得出结论；

（2）方法1、利用正弦定理得出三角形的面积公式，再利用等边三角形的性质即可得出结论；

方法2、先用正弦定理得出S1，S2，S3，S4，最后用余弦定理即可得出结论．

.

.

【解答】解：（1）在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8， ∴EF=3，DF=8，

∴S△DEF=EF×DFsin∠F=×3×8×sin60°=6

，

DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=32+82﹣2×3×8×cos60°=49， 故答案为：6

，49；

（2）证明：方法1，∵∠ACB=60°，

∴AB2=AC2+BC2﹣2AC?BCcos60°=AC2+BC2﹣AC?BC，

两边同时乘以sin60°得， AB2sin60°=AC2sin60°+BC2sin60°﹣AC?BCsin60°， ∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，

∴S1=AC?BCsin60°，S2=AB2sin60°，S3=BC2sin60°，S4=AC2sin60°， ∴S2=S4+S3﹣S1， ∴S1+S2=S3+S4，

方法2、令∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c， ∴S1=absin∠C=absin60°=

ab

∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形， ∴S2=c?c?sin60°=∴S1+S2=

c2，S3=a?a?sin60°=

（a2+b2），

a2，S4=b?b?sin60°=

b2，

（ab+c2），S3+S4=

∵c2=a2+b2﹣2ab?cos∠C=a2+b2﹣2ab?cos60°， ∴a2+b2=c2+ab， ∴S1+S2=S3+S4．

25．△OPA和△OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形，点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点．

（1）当∠AOB=90°时如图1，连接PE、QE，直接写出EP与EQ的大小关系；

（2）将△OQB绕点O逆时针方向旋转，当∠AOB是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．

（3）仍将△OQB绕点O旋转，当∠AOB为钝角时，延长PC、QD交于点G，使△ABG为等边三角

.

.

形如图3，求∠AOB的度数．

【考点】RB：几何变换综合题．

【分析】（1）先判断出点P，O，Q在同一条直线上，再判断出△APE≌△BFE，最后用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；

（2）先判断出CE=DQ，PC=DE，进而判断出△EPC≌△QED即可得出结论；

（3）先判断出CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，进而得出∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，即可得出结论．21教育名师原创作品

【解答】解：（1）如图1，延长PE，QB交于点F， ∵△APO和△BQO是等腰直角三角形， ∴∠APO=∠BQO=90°，∠AOP=∠BOQ=45°， ∵∠AOB=90°，

∴∠AOP+∠AOB+∠BOQ=180°， ∴点P，O，Q在同一条直线上， ∵∠APO=∠BQO=90°， ∴AP∥BQ， ∴∠PAE=∠FBE， ∵点E是AB中点， ∴AE=BE， ∵∠AEP=∠BEF， ∴△APE≌△BFE， ∴PE=EF，

∴点E是Rt△PQF的斜边PF的中点， ∴EP=EQ；

.

.

（2）成立，

证明：∵点C，E分别是OA，AB的中点， ∴CE∥OB，CE=OB， ∴∠DOC=∠ECA，

∵点D是Rt△OQB斜边中点， ∴DQ=OB， ∴CE=DQ，

同理：PC=DE，∠DOC=∠BDE， ∴∠ECA=∠BDE， ∵∠PCE=∠EDQ， ∴△EPC≌△QED， ∴EP=EQ；

（3）如图2，连接GO，∵点D，C分别是OB，OA的中点，△APO与△QBO都是等腰直角三角形，

∴CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线， ∴GB=GO=GA，

∴∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO， 设∠GOB=x，∠GOA=y，

∴x+x+y+y+60°=360°

∴x+y=150°， ∴∠AOB=150°．

.