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26．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．
（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；
（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；www.21-cn-jy.com
（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2的坐标；若不存在请说明理由． 【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；
（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值； （3）过Q作QG∥y轴，交BD于点G，过Q和QH⊥BD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长
度，由条件可证得△DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标．
？若存在求出点Q
【解答】解：
（1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4）， ∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4， ∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，
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∴0=a（3﹣1）2+4，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3， ∵点D在y轴上，令x=0可得y=3， ∴D点坐标为（0，3），
∴可设直线BD解析式为y=kx+3，
把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=﹣1， ∴直线BD解析式为y=﹣x+3；
（2）设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3）， ∴PM=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+， ∴当m=时，PM有最大值；
（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，
设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3）， ∴QG=|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|=|﹣x2+3x|， ∵△BOD是等腰直角三角形， ∴∠DBO=45°， ∴∠HGQ=∠BGE=45°， 当△BDQ中BD边上的高为2∴QG=
×2
=4，
时，即QH=HG=2
，
∴|﹣x2+3x|=4，
当﹣x2+3x=4时，△=9﹣16＜0，方程无实数根， 当﹣x2+3x=﹣4时，解得x=﹣1或x=4， ∴Q（﹣1，0）或（4，﹣5），
综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）
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