小中高 精品 教案 试卷
3．4 函数的应用(Ⅱ)
1．理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义．(重点)
2．区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异．(易混点) 3．会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理 几类不同增长的函数模型 阅读教材P112～P113，完成下列问题． 1．三种函数模型的性质
函数 性质 在(0，＋∞)上 的增减性 图象的变化 y＝ax (a>1) 增函数 随x的增大逐渐与y轴平行 y＝logax (a>1) 增函数 随x的增大逐渐与x轴平行 y＝xn (n>0) 增函数 随n值的不同而不同 2.三种函数增长速度的比较 (1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝a(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝x(n>0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．
(2)随着x的增大，y＝a(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢．
(3)存在一个x0，当x>x0时，有a>x>logax.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数．( )
(3)不存在一个实数m，使得当x>m时，1.1>x.( )
【解析】 (1)√.因为一次函数的图象是直线，所以当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值．
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(3)×.根据指数函数和幂函数增长速度的比较可知存在一个实数m，使得当x>m时，1.1>x.
【答案】 (1)√ (2)√ (3)×
x100
[小组合作型]
x函数模型的增长差异 (1)下列函数中，增长速度最快的是( ) A．y＝2 016 C．y＝log2 016x
B．y＝x2 016
D．y＝2 016x
(2)四个自变量y1、y2、y3、y4随变量x变化的数据如下表：
x y1 y2 y3 y4 1 2 2 2 2 5 26 32 10 4.322 10 101 1 024 20 5.322 15 226 32 768 30 5.907 20 401 1.05×10 40 6.322 625 626 3.36×10 50 6.644 730 901 1.07×10 60 6.907 9则关于x呈指数型函数变化的变量是________． 【精彩点拨】 (1)由题意，指数函数增长速度最快． (2)
观察变量y1，y2，y3，y4找出增长速度最快该变量关于x呈指
→→
的变化情况的变量数型函数变化
【自主解答】 (1)比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A.
(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4
均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.
【答案】 (1)A (2)y2
1．指数函数模型y＝a(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来
越快，形象地称为“指数爆炸”．
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2．对数函数模型y＝logax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢．
3．幂函数模型y＝x(n＞0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．
[再练一题]
1．下列函数中随x的增大而增长速度最快的是( ) A．y＝
1xe 100
100
nB．y＝100ln x D．y＝100·2
xxC．y＝x
【解析】 指数函数y＝a，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A.
【答案】 A
x3根据函数图象确定函数模型 函数f(x)＝2和g(x)＝x的图象如图3-4-1所示，设两函数的图象交于点A(x1，
y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.
图3-4-1
(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 016)，g(2 016)的大小． 【精彩点拨】 根据指数函数、幂函数的增长差异进行判断．
【自主解答】 (1)C1对应的函数为g(x)＝x，C2对应的函数为f(x)＝2. (2)∵f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)， ∴1＜x1＜2,9＜x2＜10， ∴x1＜6＜x2,2 016＞x2.
从图象上可以看出，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)， ∴f(6)＜g(6)；
当x＞x2时，f(x)＞g(x)， ∴f(2 016)＞g(2 016)． 又g(2 016)＞g(6)，
∴f(2 016)＞g(2 016)＞g(6)＞f(6)．
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根据函数图象判断增长函数模型时，通常是根据函数图象上升的快慢来判断，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数，中间的是幂函数.
[再练一题]
图3-4-2
2．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图3-4-2所示． (1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较). 【解】 (1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当x
x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．
[探究共研型]
函数模型的选择 探究1 在我们学习过的函数中，哪些函数是其定义域上的单调函数？ 【提示】 一次函数、指数函数、对数函数．
探究2 在选择函数模型时，若随着自变量的变大、函数值增加得速度急剧变化，应选择哪个函数模型？若变化的速度很平缓，应选择哪个函数模型？
【提示】 前者应选择指数函数模型，后者选择对数函数模型．
某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5～8千美元的
地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．
(1)下列几个模拟函数中：①y＝ax＋bx；②y＝kx＋b；③y＝logax＋b；④y＝a＋b(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L)．用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由；
(2)若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2 L，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5 L，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A饮料的销售量最多是多少？
【精彩点拨】 (1)理解题意，根据所给函数模型的增长趋势来选择； (2)根据(1)中所选择的函数模型，求出其解析式并求最大值．
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