线性代数讲义3

以?1,?2,?3,O线性相关.

（2）若使k1?1?k2?2?k3?3?O，即

?1??0??0??k1??0???????????k10?k21?k30?k2?0 ??????????????0???0???1????k3????0??所以只有当k1?k2?k3?0时才成立，所以向量组?1,?2,?3线性无关.

怎样判断向量组是否线性相关呢？下面我们给出几种判断方法. 定理2 已知向量?1,?2，?,?m，若齐次线性方程组

x1?1?x2?2???xm?m?O （3-3-3）

?,?m线性相关，若线性方程组（3-3-3）只有唯一的零解，则有非零解，则向量组?1,?2，?,?m线性无关. 向量组?1,?2，?,?m，设矩阵A???1 定理3 已知向量?1,?2，?2??m?，

（1）若r(A)?m，则向量组线性无关.

（2）若r(A)?m，则向量组线性相关.

又知，矩阵的秩不会大于矩阵的行数，因此，有下面的结论.

推论 若n维向量中向量的个数超过n，则该向量组一定线性相关. 例8 判断下列向量组的线性相关性. ?2??4??1???????32?3?,???? （1）?1???,?2??3?4??5??2????????1?20???????1??3??1??0?????????2023???????? ,?2?,?3?,?4?（2）?1??3??7??3??1??????????4141???????2?

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??2??1??0??1?????????（3）?1?0,?2?4,?3?0,?4?0

?????????????3????1???1???0??解 （1）因为

?2?3A???4???1425?21???1???33r?r14???????42???0??2?2?400?22540???13r1?r2?4r1?r3??30r1?r4??2?????02???1??0?2?4000???3?17?4?0???2?4?300???3?2??1???1?30?r2?r34???????0??0?0???1??4?30?r3?r4????17???17??04??1???0?

由此知r(A)?3，所以?1,?2,?3线性无关.

（2）因为

?1?2?A??3???413071412313?6000??1?2r1?r2??3r1?r3?30r1?r4??4?????01???2??010053?6?22610053?6000??3?1??2?10500??3?15??0??1?r2?r33?26r2?r406??????0??00??1??30r?r34???????00???15??0

由此知r(A)?3?4，所以?1,?2,?3,?4线性相关. （3）由推论知?1,?2,?3,?4线性相关.

例9 设向量组?1,?2,?3线性无关.试证：向量组?1,?1??2,?1??2??3线性无关. 证 设有数组k1,k2,k3，令

k1?1?k2(?1??2)?k3(?1??2??3)?O

有 (k1?k2?k3)?1?(k2?k3)?2?k3?3?O

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因为?1,?2,?3线性无关，所以上式仅当

?k1?k2?k3?0? ?k2?k3?0?k?0?3时成立，由此得k1?0,k2?0,k3?0，所以仅当k1?k2?k3?0时成立. 所以向量组?1,?1??2,?1??2??3线性无关. 向量组的线性关系还具有如下性质.

定理4 若向量组?1,?2，?,?m,(m?2)线性相关，则向量组中至少有一个向量是其余m-1个向量的线性组合.

?,?m线性无关，而向量组?1,?2，?,?m,?线性相关，则定理5 若向量组?1,?2，?,?m线性表示. 向量?可由向量组?1,?2， 定理6 若向量组中有一部分向量线性相关，则整个向量组线性相关. 四、向量组的秩

在讨论向量组的线性相关性时，我们总希望用尽可能少的向量去代表全组向量，为解决这一问题，我们先引入向量组的极大无关组的概念.

定义4 若向量组S中的部分向量组S0满足 1）S0线性无关，

2）S中的每一个向量都是S0中向量的线性组合. 则称向量组S0为向量组S的一个极大无关组.

例10 设向量组

?1???,?2???,?3???

?3??7??2??1??3??1?因为?1,?2线性无关，而?1,?2,?3都是?1,?2的线性组合.即

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?1?1??1?0??2?2?0??1?1??2?3??12??1?12??2

所以{?1,?2}是向量组?1,?2,?3的一个极大无关组.

同时，不难发现{?2,?3}、{?1,?3}也是一个极大无关组. 例11 设向量组

?1??1??2??3?????????1123?1???,?2???,?3???,?4???

?0??1??0??3?????????102???????0?不难验证，{?1,?2}、{?1,?4}、{?2,?3}、{?3,?4}是此向量组的极大无关组.除此之外，均线性相关，如{?1,?3}、{?1,?2,?3}等均线性相关.

通过例10、例11我们看到，一个向量组可以有不止一个极大无关组，但极大无关组

中所包含的向量的个数却是相等的，因而有下面结论.

定理7 对于一个向量组，其所有极大无关组所含向量的个数都相等. 定义5 向量组S的极大无关组所包含的向量个数称为向量组S的秩. 例12 对于矩阵

?a11?0 A??????0a12a22?0????a1n??a2n????ann?(aii?0,i?1,2,?,n)

的n个列向量所构成的向量组来说，因为r(A)?n，所以这n个列向量是线性无关的，所以向量组的秩为n. 例13 对于矩阵

?1?0?A??0??021003200531060204??4? 1??2?

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