多元统计分析按章进行

《多元统计分析》复习思考题 第一章 多元分析概述

1什么是多元统计分析，它有什么作用？

多元统计分析是运用数理统计方法研究解决多指标问题的理论和方法，研究的是多个随机变量及其相互关系的统计总体。

多元统计分析的作用主要有：能够简化数据的数据结构；能够进行分类和组合；能够研究指标之间的依存关系；进行预测；进行假设检验。 2简述多元统计的主要内容与方法

第二章 多元正态分布的参数估计

1 多维随机变量及分布（离散连续、联合边缘、独立与两两独立）

?4?设三维随机向量X?N3(?,?)，其中???1?0?1300??0?，试问X1与X2是否独立？2???和X3是否独立？为什么？ （X1,X2）2随机变量的数字特征（均值向量和协差阵的定义和性质）

E(AXB)?AE(X)B

E(AX?BY)?AE(X)?BE(Y) D(AX?a)?AD(X)A? Cov(AX,BY)?ACov(X,Y)B? E(X?AX)?tr(A?)???A?

3证明：标准化数据表示变量的协差阵正好是原数据表示变量的相关阵 4 相关阵与协差阵的关系 5多元正态分布的定义和性质

定义：二维密度函数推广，任何线性组合均服从一维正态，特征函数法 性质：服从多元正态分布时协差阵为对角阵则变量相互独立 多元正态的边缘分布仍然服从正态分布 正态随机向量的线性函数仍服从正态

6多元统计常用的统计量及其计算：样本均值、样本方差、样本协方差和样本相关系数。 7抽样分布定理：设X和S分别是多元正态总体Np(?,?)的均值向量和离差阵，则 （1）X?Np(?,)，（2）X和S相互独立 （3）离差阵S可以写成S??n?ZZ?，其中，Z,Z,?,Zaa12n?1n?1独立同分布于

Np(0,?)

a?18试述Wishart分布与卡方分布的关系

9若X?(X1,X2,?,Xp)?~Np(?,?)，若?是对角阵，则X1,X2,?,Xp的关系是 相互独立 ．

10若X(?)~Np(?,?)，（??1,2,?,n）且相互独立，则样本均值向量X服从的分布是 ． 11

设

?1X?(X1,X2)?N2(?,?),，其中??(?1,?2),???2??????，则1?Cov(X1?X,2X?X1)? 212 设Xi?N3(?,?),i?1,2,?,10，则W??(Xi?110i??)(Xi??)?服从

?4?43???13设随机向量X?(X1,X2,X3)?，且协差阵????49?2?，则其相关矩阵R=

?3?216???设X~Np(?,?)，则?s?1?d?Bx的分布为 _____。

16.设X?Nn(?,?)，X(t)(t?1,2,?,n)是X的样本，则u最大似然估计为：____。 17.设X(t)(t?1,...,n)是总体X~Np(?,?)的样本，则?,?的估计量分别是

第三章多元正态分布均值向量和协差阵的检验

1试述HotellingT分布和威尔克斯分布与一元统计某些分布的关系 霍特林

分布是t分布对于多元变量的推广。

n(X??)2t??n(X??)?(S2)?1(X??)而若设X~Np(μ,Σ)，S~Wp(n,Σ)且X与S2S2相互独立，n?p，则称统计量的分布为非中心霍特林T分布。

2

若X~Np(0,Σ)，S~Wp(n,Σ)且X与S相互独立，令T2?nX?S?1X，则

n?p?12T~F(p,n?p?1) 。 np（2）威尔克斯分布主要用于多元方差分析，在实际应用中经常把统计量化为T2统计量进而化为F统计量，利用F统计量来解决多元统计分析中有关检验问题。

?与F统计量的关系

p n1 任意 n2 1 F统计量及分别 n1?p?11??(p,n1,1)?~F(p,n1?p?1) p?(p,n1,1)n1?p1??(p,n1,2)?~F(2p,2(n1?p)) p?(p,n1,2)任意 任意 任意 2 1 任意 任意 n11??(1,n1,n2)?~F(n2,n1) n2?(1,n1,n2)n1?11??(2,n1,n2)?~F(2n2,2(n1?1)) n2?(2,n1,n2)2

任意 任意 2简述多元统计分析中各种均值向量和协差阵检验的基本思想和步骤 答：其基本思想和步骤均可归纳为： 第一，提出待检验的假设

和H1；

第二，给出检验的统计量及其服从的分布；

第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界值，从而得到否定域； 第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出

决策（拒绝或接受）。

统计量 拒绝域

均值向量的检验：

在单一变量中

当?2已知 z?(X??0)?n |z|?z?/2

当?2未知 t?(X??0)n |t|?t?/2(n?1)

S1n （S?(Xi?X)2作为?2的估计量） ?n?1i?12

一个正态总体H0：μ?μ0

2协差阵Σ已知 T02?n(X?μ0)?Σ?1(X?μ0)~?2(p) T02???

协差阵Σ未知

(n?1)?p?12n?p2T~F(p,n?p) T?F?

(n?1)p(n?1)p （T?(n?1)[n(X?μ0)?S 两个正态总体H0：μ1?μ2 有共同已知协差阵 T02?有共同未知协差阵 F?（

22?1n(X?μ0)]）

n?m2 (X?Y)?Σ?1(X?Y)~?2(p) T02???n?m(n?m?2)?p?12T~F(p,n?m?p?1) F?F?

(n?m?2)p其

中

?n?m???1?n?m?T?(n?m?2)?(X?Y)?S?(X?Y)?）

?n?m??n?m?协差阵不等n?m F?(n?p)nZ?S-1Z~F(p,n?p) F?F? p(n?p)nZ?S-1Z~F(p,n?p) F?F? p协差阵不等n?m F?