16. 已知底面为正三角形的三棱柱内接于半径为1的球,则三棱柱的体积的最大值为 .
三.解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)
已知等差数列?an?的前n项和为Sn,且S4?4(a3?1),3a3?5a4,数列?bn?是等比数列,且
??b1b2?b3,2b1?a5.
(I)求数列?an?,?bn?的通项公式; (II)求数列?an?的前n项和Tn.
18. (本小题满分12分)
(I)如果用分层抽样的方法从男、女志愿者中共抽取10人组成服务队,求女志愿者被抽到的人数; (II)如果从喜欢运动的6名女志愿者中(其中恰有4人懂得医疗救护),任意抽取2名志愿者负责医疗救护工作,则抽出的志愿者中2人都能胜任医疗救护工作的概率是多少?
19、(本小题满分12分)
如图(1),在等腰梯形ABCD中,ABPCD,E,F分别为AB和CD的中点,且AB?EF?2,
CD?6,M为BC中点,现将梯形ABCD沿EF所在直线折起,使平面EFCB?平面EFDA,如图(2)
所示,N是CD的中点.
(Ⅰ)求证:MNP平面ADFE;
(Ⅱ)求四棱锥M-EFDA的体积.
20. (本小题满分12分)
(x?4)2曲线y??上任意一点为A,点B(2,0)为线段AC的中点。
4 (I)求动点C的轨迹E的方程;
(II)过轨迹E的焦点F作直线交轨迹E于M、N两点,在圆x?y=1上是否存在一点P,使得PM、PN分别为轨迹E的切线?若存在,求出轨迹E与直线PM、PN所围成的图形的面积;若不存在,请说明理由。
21. (本小题满分12分)
已知函数f?x??lnx?x. (I)判断函数f?x?的单调性; (II)函数g?x??f(x)?x?求证:x1?x2?1.
请考生在22,23,24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
已知四边形ABCD为eO的内接四边形且BC?CD,其对角线AC与BD相交于点M,过点B作
BOMDA22CP1?m有两个零点x1,x2,且x1?x2. 2xeO的切线交DC的延长线于点P.
(Ⅰ)求证:AB?MD?AD?BM;
(Ⅱ)若CP?MD?CB?BM,求证:AB?BC.
23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
?2x?m?t??2(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极 已知直线l的参数方程为??y?2t?2?坐标系,曲线C的极坐标方程为?cos??3?sin??12,且曲线C的左焦点F在直线l上.
(I)若直线l与曲线C交于A,B两点,求FA?FB的值; (Ⅱ)设曲线C的内接矩形的周长的最大值.
24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知?x0?R使得关于x的不等式x?1?x?2?t错误!未找到引用源。成立. (I)求满足条件的实数t集合T;
(Ⅱ)若m?1,n?1,且对于?t?T,不等式log3m?log3n?t恒成立,试求m?n的最小值.
2016年二模文科数学答案
1 B 13、4 14、6 15、①② 16、1
17. (I)设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q
由题意可得a1?9,d??2,…………(2分)
2 A 3 B 4 B 5 C 6 A 7 C 8 B 9 D 10 D 11 C 12 C 2222an?11?2n…………(3分)
b1?q?1,…………(5分) 2n?1?bn???…………(6分)
?2?(II)|an|?|11?2n|,…………(7分)
2当n?5时,Tn?10n?n,…………(9分) 2 当n?6时,Tn?n?10n?50,…………(11分)
2??10n?n,n?5所以Tn??…………(12分)
2??n?10n?50,n?618. (I)用分层抽样的方法,每个志愿者被抽中的概率是∴女志愿者被选中有18?101?, 303…………(3分)
1?6(人); …………(6分) 3(II)喜欢运动的女志愿者有6人,
分别设为A、B、C、D、E、F,其中A、B、C、D懂得医疗救护,
则从这6人中任取2人有AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共15种取法,
…………(8分)
其中两人都懂得医疗救护的有AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种. …………(10分) 设“抽出的志愿者中2人都能胜任医疗救护工作”为事件A, 则P(A)?62?. …………(12分) 155 19. (Ⅰ)连接ED,MN∥ED …………(2分) 又MN?平面EFDA,ED?平面EFDA 所以MN∥平面EFDA…………(5分) (Ⅱ)由题意平面EFDA⊥平面EFCB
平面EFDA?平面EFCB?EF,CF⊥EF,CF?平面EFCB 所以CF⊥平面EFDA…………(8分) 又VM?EFDA?1Vc?EFDA…………(9分) 2 SEFDA?4…………(10分)
所以VM?EFDA?2…………(12分)
20. (Ⅰ) 解:设C(x,y),A(m,n)
x?m?2???2…………(1分)
??0?y?n?2? 所以??m?4?x…………(2分)
n??y?(m?4)2 又n??…………(3分)
4所以所求方程为x?4y …………(4分)
(Ⅱ)假设存在点P(x0,y0)
2x12x2设A(x1,),B(x2,),直线AB的方程为y?kx?1
442?y?kx?1联立?2 ,
?x?4y得x2?4kx?4?0,…………(5分) 则??x1?x2?4k…………(6分)
?x1x2??4x12x1切线PA的方程为y??(x?x1)
42点P(x0,y0)代入化简得x1?2x1x0?4y0?0 同理得x2?2x2x0?4y0?0…………(7分) 所以知x1,x2是方程x222?2x0x?4y0?0的两根…………(9分)
则x1x2?4y0??4…………(10分)
所以y0??1,代入圆方程得x0?0…………(11分) 所以存在点P(0,?1)…………(12分)
???. …………(2分) 21. 解:(I)因为函数f?x?的定义域为?0,f??x??11?x,. …………(3分) ?1?xx11?x?1??0,得0?x?1 xx令 f??x??令 f??x??11?x?1??0,得x?1. …………(4分) xx1?, 所以函数f?x?的单调递增区间为?0,???. …………(5分) 函数f?x?的单调递减区间为?1,(II)证明:根据题意,g?x??lnx?因为x1,x2是函数g?x??lnx?所以lnx1?1?m(x?0), 2x1?m的两个零点, 2x11?m?0,lnx2??m?0. 2x12x2x111?? , …………7分 x22x22x1两式相减,可得lnx1x?11?2xx?x2x?x2xx1即ln1?1,故x1x2?1.那么x1?2,x2?.
x1x1x1x22x2x12ln2ln2lnx2x2x211t?xt?1t?t. 令t?1,其中0?t?1,则x1?x2??x22lnt2lnt2lnt1?构造函数h(t)?t??2lnt (0?t?1), ……………10分
1t(t?1)2则h'(t)?.
t2因为0?t?1,所以h'(t)?0恒成立,故h(t)?h(1),即t??2lnt?0.
1t1t?1,故x?x?1. ……………12分 可知122lntt?22. (Ⅰ)由题意可知?CBD??BDC…………(1分)
所以?CAB??DAC…………(2分)
由角分线定理可知,AB?BM,
ADMD即AB?MD?AD?BM得证. …………(4分)
(Ⅱ)由题意BM?CP,即AB?CP,. …………(4分)
ADCBMDCB由四点共圆有?BCP??BAD. …………(5分) 所以?BCP∽?BAD.. …………(6分) 所以?CBP??ADB. …………(7分)
又?CBP??BAC,?ACB??ADB. …………(8分) 所以?BAC??ACB. …………(9分) 所以AB?AC. …………(10分)
x2y223. 解:(I)曲线C的直角坐标方程为??1…………(1分)
124左焦点F(?22,0) 代入直线AB的参数方程 得m??22…………(2分)
?2t?x??22??2(t为参数) 直线AB的参数方程是??y?2t?2? 代入椭圆方程得t?2t?2?0…………(3分) 所以|FA|?|FB|=2…………(4分)
2(Ⅱ) 设椭圆C的内接矩形的顶点为(23cos?,2sin?),(?23cos?,2sin?),
(23cos?,?2sin?),(?23cos?,?2sin?)(0????)…………(6分) 2所以椭圆C的内接矩形的周长为83cos??8sin?=16sin(??当???3)…………(8分)
?3??2时,即???6时椭圆C的内接矩形的周长取得最大值16…………(10分)
24. 解析:(I)错误!未找到引用源。, …………(2分)
所以x?1?x?2?1,所以t的取值范围为???,1? …………(3分) T?{t|t?1}…………(4分)
(Ⅱ)由(I)知,对于?t?T,不等式log3m?log3n?t恒成立,
只需log3m?log3n?tmax,
所以log3m?log3n?1, …………(6分)
又因为m?1,n?1,所以log3m?0,log3n?0. …………(7分)
?log3m?log3n??log3mn?又1?log3m?log3n??log3m=log3n时,取等号,此时m?n?, ???24??22所以?log3mn??4,…………(8分) 所以log3mn?2,mn?9,…………(9分)
所以m?n?2mn?6,即m?n的最小值为6?此时m=n=3?. …………(10分)
2高考模拟数学试卷
考试说明:本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.
(1)答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚;
(2)选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工
整, 字迹清楚;
(3)请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、
试题卷上答题无效;
(4)保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀.
第I卷 (选择题, 共60分)
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求
的.)
1. 若复数z?1?2i,则复数z的模等于 A. 5 B. 2 C. 3 D. 2 2. 设集合A?xy?log2(x?1),B?yy????2?x,则A?B?
???? D.?1,2?A.?0,2? B.?1,2? C.?1,
x3. 已知数列{an},那么“对于任意的n?N?,点Pn(n,an)都在曲线y?3上”是“数列{an}为等比数
列”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 对于平面?和不重合的两条直线m、n,下列选项中正确的是 A.如果m??,n∥?,m、n共面,那么m∥n B.如果m??,n与?相交,那么m、n是异面直线 C.如果m??,n??,m、n是异面直线,那么n∥? D. 如果m??,n?m,那么n∥?
5. 若圆?x?1???y?1??r2上有且只有两个点到直线x?y?1?0的距离等于
范围是 A.
222,则半径r的取值2?2,22?? B. ??2,22 C. ??2,22 ??开始 S?0,n?1 S?S?n n?n?2 D.?2,22?
?6. 下面几个命题中,真命题是 A.“若x?y,则
11
?”的否命题; xy
否 B.“?a?1,函数y?logax在定义域内单调递增”的否定; C.“?是函数y?sinx的一个周期”或“
①? 是 输出S 结束 ?是函数y?sin2x 2的一个周期”;
D.“x?y?1”是“x?y?1”的必要条件
7. 执行如图所示的程序框图,若输出S?16,则框图中①处 可以填入
A.n?2 B.n?4 C.n?6
D.n?8
2 4 正视图
3 侧视图
8. 已知袋子内有6个球,其中3个红球,3个白球,从中不放
地依次抽取2个球,那么在已知第一次抽到红球的条件下, 第二次也抽到红球的概率是 A.
回
1321B.C.D.
2 5 5 5俯视图
29. 已知数列?an?的前n项和Sn满足Sn?2n-n,则数?a2n?的前10项和等于
A.380 B.390 C. 400 D. 410
10. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为
A.36? B.30? C.29? D.20?
11. 已知函数f(x)?sin(?x?取值范围是 A.[,12.
??3?若函数f?x?在区间??,??上为单调递减函数,则实数?的)???0?,
23??2115112325] B. [,] C. [,] D. [,] 39693436R
上的偶函数,
f(x)为定义在f?(x)为其导函数,当x?0时,有
f?(x)?f(x)1?ex成立,且f(-1)?-,则下列结论正确的是xe
A.f(x)在(0,??)单调递增 B.f(x)在(0,??)单调递减 C.f(x)在(??,0)有极大值 D.f(x)在(??,0)有极小值
第Ⅱ卷 (非选择题, 共90分)
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题卡相应的位置上)
(x?13.二项式
2x)6的展开式中常数项为 14. 已知随机变量X服从正态分布N(1.5,?2),P(X?2.5)?0.78,则P(X?0.5)?
15. 已知P为?ABC内一点,满足PA?PB?2PC?0,则?PAB和?ABC的面积比为 17.已知an??????????n(1?b)?3b?2(b?1,n?2),若对不小于4的自然数n,恒有不等式an?1?an成立,则n?1b实数b的取值范围是
18. (本小题满分12分)
在?ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且 sinA?sinC?sinB?3sinA?sinC.
(Ⅰ)求角B;
(Ⅱ)点D在线段BC上,满足DA?DC,且BC?11,cos?A?C??
18. (本小题满分12分)
为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系,分别记录了4月1日至4月5日每天的昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数,得到如下表格:
日期 温差x/℃ 发芽数y/颗 4月1日 12 26 4月2日 11 25 4月3日 13 30 4月4日 10 23 4月5日 8 16 2225,求线段DC的长. 5(Ⅰ)从这5天中任选2天,求至少有一天种子发芽数超过25颗的概率; ??a??bx?;(Ⅱ)请根据4月1日,4月2日,4月3日这3天的数据,求出y关于x的线性回归方程y
(Ⅲ)根据(Ⅱ)中所得的线性回归方程, 预测温差为16?C时,种子发芽的颗数.
??(参考公式:b?xyii?1ni?1ni?nxy2?x) ??y?b,a?xi?nx2
19. (本小题满分12分)
如图,四边形ABCD与BDEF均为边长为2的菱形, ?DAB??DBF?60?,且FA?FC. (Ⅰ)求证:FC∥平面EAD; (Ⅱ)求二面角D?FC?B的余弦值.
FE
20. (本小题满分12分)
ADBCy2x2在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E:2?2?1?a?b?0?经过点A3,0和点B?0,2?,斜率
ab??0?且交E于M,N两点. 为k?k?0?的直线经过点P?2,(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)当?AOM与?AON面积比值为?,求实数?的取值范围.
21. (本小题满分12分)
已知函数f(x)?4lnx?ax?1(a?R). x(Ⅰ)若曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程与直线x?4y?1?0垂直, 求a的值;
(Ⅱ)若f(x)在(0,??)上为单调递减函数,求a的取值范围;
2?lnn?lnm??(Ⅲ)设0?m?n,求证:
4n?m
1. mn请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分10分)
22在平面直角坐标系xOy中,将圆O:x?y?4上每一个点的横坐标不变,纵坐标变为原来的
1,2得到曲线C.
(Ⅰ)求曲线C的参数方程;
(Ⅱ)以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,在两坐标系中取相同的单位长度,射线???
23. (本小题满分10分)
已知函数f(x)=tx-2-tx+1(a?R) (Ⅰ)当t=1时,解不等式f(x)?1;
(Ⅱ)若对任意实数t,f(x)的最大值恒为m,求证:对任意正数a,b,c,当a+b+c=m时,
???0?与圆O和曲线C分别交于点A,B,求AB的最大值.
a?b?c?m .
四模理科数学答案
一、选择题:
1-12:ACAAB DDCDC BA 二、填空题
13. 240; 14. 0.22; 15. 12; 16. (3,??) 三、解答题
17. 解:(Ⅰ)由正弦定理和已知条件,a2?c2?b2?3ac所以cosB?32. 因为B??0,??,所以B??6..............................................6分
(Ⅱ)由条件.由cos?A?C??55?sin?A?C??255。设AD?x,则CD?x,在?ABD中,由正弦定理得
BDADsin?BAD?sinB. 故11?x25?x1?x?45?5.所以AD?DC?45?5...................12分 52(Ⅰ)P?1?C218.解:37C2?;……………… 4分510
^(Ⅱ)y?52x?3; ……………… 9分 ^(III)x?16时,y?37,种子发芽数为37 ………………12分 19解:(Ⅰ)因为FB//ED,ED?平面EAD,FB?平面EAD,所以FB//平面EAD
同理BC//平面EAD, …………………………..3分
又FB?BC?B,FB?平面EAD,BC?平面EAD,所以平面FBC/平面EAD 又FC?平面FBC,所以FC//平面EAD ………………………….6分
(Ⅱ)设AC?BD?O,易证FO?平面ABCD,又AC?BD 以O为圆心,OB,OC,OF分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则 易得平面FCB的一个法向量为n1?(3,1,1),
平面FCD的一个法向量为n2?(?3,1,1),……………………8分 则二面角余弦值为15 …………………………………….12分
20. 解:(Ⅰ)椭圆的标准方程为y24?x23?1…………………………..4 (Ⅱ)设点M?x1,y1?,N?x2,y2?
BD?11?x, ?y2x2???1,有(3k2?4)y2?16ky?4k2?0 ?43??y?k(x?2)?16k?y?y?122??3k?4 有?2?y1y2?4k?3k2?4?2222且??256k?16k3k?4?0?0?k?4…..………..6
???y1?y2????1?y2S?AOMy1??y1??y2?? 2S?AONy2yy??y122??-16k????1?y2??64??1?2?3k2?4?2?有?…..…………….……………….8 24k?3k?42???y2??3k2?4那么有实数?的范围是7-43,1?1,7?43……………………………….12
21.解:(Ⅰ)f??x??????41?a?2,f??1??4?a?1?3?a?4, xx4114?a?2?0在?0,???恒成立,即a??2?在?0,???恒成立.设xxxx所以,a??1. …………………………..3分. (Ⅱ)由题意f??x??g?x???14?,x??0,???,则a???g?x???max。 x2x2?1?g?x?????2??4??4,???,所以a?4. ………………………….7分
?x?(III)因为0?m?n,不等式
2?lnn?lnm?14n?m??lnn?lnm?,即
4n?mmn2mnlnnn1m?2?.令t?mm2nn11,则t?1,则lnt2?2t?,即4lnt2?4t??0. m2tt令h?t??4lnt2?4t?11?t?1?,由(Ⅱ)知,f?x??4lnx2?4x?在?0,???上单调递减,所以当t?1tx2?lnn?lnm??时,h?t??h?1???3?0.故当0?m?n时,不等式
4n?m立。…………………………..12分 22. 解:(Ⅰ)圆的参数方程为?1mn成
?x?2cos???为参数?
y?2sin???x?2cos???为参数?……………………………….4
?y?sin? 根据题意,曲线C的参数方程为?2 (Ⅱ) 令???,则极坐标系中A(2,?),B
(1?3sin2?,?)
则AB?2-21?3sin2?,当???2是AB取最大值1………….…………….10
23. 解:(Ⅰ)t?1时,f?x??x?2?x?1
?3f?x???,x??1??2x?1,1?x?2 所以f?x??1,解集为?0,???……….5
???3(Ⅱ)由绝对值不等式得tx?2?tx?1??tx?2???tx?1??3 所以f?x?最大值为3,
a?b?c?1?a?1?b?1?c?1?a1?b1?c3?a2?2?2??b?c2?3 当a?b?c?1时等号成立。……….10
当且仅
高考模拟数学试卷
一、选择题
1. 已知集合A={x|y=lg(1-x)},B={x|x?1?0},则 A.AIB?{x|x?0} C.AUB?{x|x?1} 【答案】D
22.下面是关于复数z?2?i的四个命题:p1:|z|?5;p2:z的共轭复数为2+i;p3:z?3?4i;
B.AUB?R D.AIB??
p4:121??i.其中真命题为( B ) z33A. p1,p2 B. p2,p3 C. p2,p4 D. p3,p4 3.已知sin?A.
???3?3??????,则sin?????( C ) ?4?5?4?4433 B. ? C. D. ? 555512xx4. 已知函数f(x)?()?2,则f(x)
(A)是奇函数,且在R上是增函数 (C)是奇函数,且在R上是减函数 【答案】C
(B)是偶函数,且在R上是增函数 (D)是偶函数,且在R上是减函数
A.0.024 B.0.036 C.0.06 D.0.6
6.直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于( C )
48162A. B.2 C. D. 333
7. 中国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢?”现用程序框图描述,如图所示,则输出结果n? A.2 B.3
C.4
D.5 【答案】B
8. 直线ax?y?3?0与圆?x?1???y?2??4相交于A、B两点且AB?22,则a?(A)
A.1 B.3 C.2 D.3
9.若函数f(x)?2x?a2?a在(??,1]上存在零点,则正实数a的取值范围是B A.(0,1) B.(0,1] C.(0,2) D. (0,2]
22x2y210.设双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,Cab两点,过B,C分别作AB,AC的垂线交于D,若D到直线BC的距离不小于a+c,则该双曲线的离心率的取值范围是( C )
A. 1,2? B. ?1+? D. 2,,2 C. ?2,+??
??????11. 如图,络纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某四棱锥的三视图,则该几何体的体积为( B )
8A. B.2 C.8 D.6
3
12. 已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f(x),若对于任意实数
xx,有f(x)?f?(x),且y?f(x)?1为奇函数,则不等式f(x)?e的解集
'为( B )
A.(??,0)B.(0,??)C.(??,e)D.(e,??) 二、填空题
44?x?y?2?0?x?y?4?0?13. 若x,y满足?,则z?y?2x的最大值为 .2
x?0???y?0rrrrrr1o14. 已知非零向量a,b的夹角为60,且b?1,2a?b?1,则a? .
215. .在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2?a2?2bc,A?于 .
2?,则角C等3? 616.设数列?an?是首项为0的递增数列,fn?x??sin1?x?an?,x??an,an?1?,n?N*,满足:对于任意n的b?0,1?,fn?x??b总有两个不同的根,则?an?的通项公式为______an?三、解答题
17. 已知数列?an?的首项a1?1,an?2anan?1?an?1. (1)求数列?an?的通项公式;
?n?n?1??. 2(2)设数列?bn?满足b1a1?a2b2?Lanbn?1?1,n?N*,求?bn?的前n项和Tn. n2解:(1)
Qa1?1,an?2anan?1?an?1,?11??2,-----2分 anan?1?1?11即??为等差数列,?2n?1,?an?.-----5分
aan2n?1?n?(2) b1a1?a2b2?Lanbn?1?当n?2,anbn?1?11,当得. ab?n?111n221?1?12n?1?1??,即.------7分 b???n2n?2n?1?2n2nTn?1352n?1?2?3?K?n?1?2222------10分 1132n?32n?1Tn?2?3?K??n?1?2?n22222(1)-(2)得Tn?
12112n?12n?3?n?n?1,?Tn?3?n.-----12分 222218.如图,在四棱锥P?ABCD中,底面ABCD是长方形,2AD?CD?PD?2,PA?5,二面角P?AD?C为120o,点E为线段PC的中点,点F在线段AB上,且
AF?
1. 2(Ⅰ)平面PCD?平面ABCD; (Ⅱ)求棱锥C?DEF的高.
解:(Ⅰ)∵AP2?PD2?AD2,∴AD?PD,又AD?DC,∴AD?平面PCD,-----3分
又AD?平面ABCD,∴平面PCD?平面
ABCD. ………………5分
(Ⅱ)∵AD?平面PCD,??PDC?120o----6分 做EH?DC于H,HM?DF于M,连EM,则EM?DF, 设棱锥C?DEF的高的高为h 如图,求得DF?535.----8分 ,EH?,EM?4251?SVEFD?,QV锥E?DFC?V锥C?DFE,?h?23-----10分
4
19. 进入12月以来,某地区为了防止出现重污染天气,坚持保民生、保蓝天,严格落实机动车限行等一系列“管控令”.该地区交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况,随机采访了220名市民,将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计,得到如下的2?2列联表:
没有私家车 有私家车 合计 赞同限行 不赞同限行 合计 90 70 20 40 110 110 160 60 220 (1)根据上面的列联表判断,能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“赞同限行与是否拥有私家车”有关;
(2)为了了解限行之后是否对交通拥堵、环境污染起到改善作用,从上述调查的不赞同限行的人员中按.....分层抽样抽取6人,再从这6人中随机抽出3名进行电话回访,求3人中至少抽到1名“没有私家车”人员的概率.
n(ad?bc)2附:k?
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2P?k2?k0? 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 k0 2220?(20?70?40?90)255??9.167?10.828. 解:(1)k?60?160?110?1106所以在犯错误概率不超过0.001的前提下,不能认为“赞同限行与是否拥有私家车”有关. (2)设从“没有私家车”中抽取x人,从“有私家车”中抽取y人,由分层抽样的定义可知解得x?2,y?4.
在抽取的6人中,“没有私家车”的2名人员记为A1,A2,“有私家车”的4名人员记为B1,B2,B3,B4,则所有的抽样情况如下:
6xy,??602040?A1,A2,B1?,?A1,A2,B2?,?A1,A2,B3?,?A1,A2,B4?,?A1,B1,B2?,?A1,B1,B3?,?A1,B1,B4?,?A1,B2,B3?,?A1,B2,B4?,?A1,B3,B4?,?A2,B1,B2?,?A2,B1,B3?, ?A2,B1,B4?,?A2,B2,B3?,?A2,B2,B4?,?A2,B3,B4?,?B1,B2,B3?,?B1,B2,B4?,?B1,B3,B4?,?B2,B3,B4?.共20种.
其中至少有1名“没有私家车”人员的情况有16种. 记事件A为至少抽到1名“没有私家车”人员,则P(A)?16?0.8. 20x2y2320.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率e?,F1,F2为分别为
2ab左、右焦点,过F1的直线交椭圆C于P,Q两点,且?PQF2的周长为8. (Ⅰ)求椭圆C的方程;
uuuruuuruuur(Ⅱ)设过点M的直线交椭圆C于不同两点A,B,N为椭圆上一点,且满足OA?OB?tON(O为(3,0)坐标原点),当AB?3时,求实数t的取值范围.
c2a2?b2322?,a?4b, 解:(Ⅰ)∵e?2? ∴2aa42x2?y2?1 …………………………4分 又Q4a?8?a?2.?b?1,所以椭圆方程是42(x,yx,y(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),PN()),,ABAB的方程为y?k(x?3),
?y?k(x?3),?由?x2 整理得(1?4k2)x2?24k2x?36k2?4?0.
2?y?1,??42422由??24kk?16(9k?1)(1?4k)>0,得k2<.
1524k236k2?4x1?x2?,x1?x2?. 221?4k1?4kuuuruuur∴OA?OB?(x1?x2,y1?y2)?t(x,y),
11?6k124k2y?(y?y)?k(x?x)?6k?. 则x?(x1?x2)?,??1212ttt(1?4k2)tt(1?4k2)(24k2)2144k222236k?t(1?4k)…① ………8分 由点N在椭圆上,得2化简得??4,22222t(1?4k)t(1?4k)又由AB?1?k22x1?x2<3,即(1?k2)?(x?x)?4x1x2?12??<3,
?242k44(36k2?4)??<3, 将x1?x2,x1x2代入得(1?k)??2221?4k?(1?4k)?222化简,得(8k?1)(16k?13)>0,则8k2?1?0,k2?111,∴<k2<② 885
t2由①,得k? 联立②,解得3?t2?4 236?4t,
2∴?2?t??3或3?t?2 ………………………12分 21. 已知函数f?x??x?lnx,g?x??f?x??(Ⅰ)求
12x?bx与直线x+2y?0垂直. 2f?x?在x?1处的切线方程;
(Ⅱ)当b=4时,求函数g(x)?f(x)?12x?bx的单调递减区间; 27,求g(x1)?g(x2)的最小值. 2(Ⅲ)设x1,x2(x1?x2)是函数g(x)的两个极值点,若b?解:(Ⅰ)∵f?(x)?1?1,k=2,切线方程为2x?y?1?0. x∵g(x)?lnx?12x?3x 21x2?3x?1∴g?(x)??x?3?………………………………3分
xx由题知g?(x)?0 ∵x?0 ∴
3-23?2 ?x?22?3-23?2?,g(x)的单调递减区间是??.………………………5分 22??注:区间开闭同样给分.
1x2?(b?1)x?1(Ⅲ)∵g?(x)??x?(b?1)?
xx令 g?(x)?0, 得x?(b?1)x?1?0
22∵x1,x2(x1?x2)是函数g(x)的两个极值点 ∴x1,x2(x1?x2)是x?(b?1)x?1?0的两个根
∴x1?x2?b?1,x1x2?1…………………………………………6分
g(x1)?g(x2)?[lnx1??ln1212x1?(b?1)x1]?[lnx2?x2?(b?1)x2] 22x1x11222?(x1?x2)?(b?1)(x1?x2)?ln1?(x12?x2)?(x1?x2)(x1?x2) x22x2222x12x1x?x2x1xx2?ln1?(x1?x2)?ln1?(1)?ln1?(1?2)…………8分
x22x22x1x2x22x2x1令t?x111,则g(x1)?g(x2)?h(t)?lnt?(t?) x22tx1?(0,1) x2∵0?x1?x2 ∴ t?(x1?x2)21257522?t??2?又b?,所以b?1?, 所以(b?1)?(x1?x2)?
22x1x2t4整理有4t2?17t?4?0,解得?11?t? 44∴t?(0,]…………………………………………11分
141111(t?1)2h(t)(0,]单调递减 而h?(t)??(1?2)?? ,所以在?024t2t2t?1?15h?t??h????2ln2
?4?8故g(x1)?g(x2)的最小值是
15?2ln2.…………………………12分 8?x?cos?(θ为参数),直线l
y?sin??22.(本题满分10分) 已知在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为?经过定点P?1,1?,倾斜角为
?. 6(Ⅰ)写出直线l的参数方程,将圆锥曲线C的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,到到曲线C'写出
C'标准方程;
(Ⅱ)设直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,求PA?PB的值. 解:(Ⅰ)Ql经过定点P?1,1?,倾斜角为
? 3?3x?1?t??2(t为参数)……………………2分 ? 直线l的参数方程为??y?1?1t??2?x?2cos?, Qsin??cos??1,且?y?sin??22x2?y2?1 …………………………………………4分 ?圆锥曲线C的标准方程为4(Ⅱ)把直线l的参数方程代入圆锥曲线C的标准方程得
72t?2?3t?3?0①…………………………………………………………6分 4??设t1,t2是方程①的两个实根,则t1t2??
23.已知函数f(x)?|2x?1|-2x?3. (Ⅰ)求不等式f(x)?x的解集;
12,…………………………………………8分 7(Ⅱ)若不等式f(x)?m?ya,?m?0?,对任意的实数x,y?R恒成立,求实数a的最小值. my3?4,x???2?31?解:(Ⅰ)f(x)?|2x?1|-2x?3=??4x?4,??x?
22?1??4,x??2?4???f(x)?x的解集为?xx???.
5??(Ⅱ)Q|2x?1|-2x?3?-1-3=4 当m?1时,?my?2ayy2ym?t,a??t?2?4, ?4,即a?4m?m??,令myy当且仅当t?2,即m?2,y?logm2时,a?4,
当m?1时,依题意知a?3, 综上所述,a的最小值为3.
高考模拟数学试卷
本试卷共5页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分 (选择题 共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 (1)已知集合A?{x|x(x?2)≤0},B?{?2,?1,0,1,2},则AIB?
(A){?2,?1} (C){?1,0,1,2} (2)在复平面内,复数(A)第一象限 (C)第三象限
(B){1,2} (D){0,1,2}
2?i对应的点位于 i(B)第二象限 (D)第四象限
(3)已知抛物线方程为y2??4x,则它的焦点坐标为
(A)(?1,0) (C)(?2,0)
(B)(1,0) (D)(2,0)
(4)执行如图所示的程序框图,如果输入a?1,b?2,则输出的a的值为
(A)16 (C)8
(5)函数f(x)?x?log1x的零点个数为
2(B)12 (D)7
2(A)0 (C)2
(B)1 (D)3
(6)已知数列?an?,则“an?1?an?1”是“数列?an?为递增数列”的
(A)充分而不必要条件 (C)充要条件
(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
(7)如图,有一块锐角三角形的玻璃余料,学优网欲加工成一个面积不小于800cm2的内接矩
形玻璃
(阴影部分),则其边长x(单位:cm)的取值范围是
x60cm60cm
(B)[25,32] (D)[20,40]
(A)[10,30] (C)[20,35]
(8)已知直线l:y?2x?b与函数y?坐标原点),则函数S?f(b)是 1的图象交于A,B两点,记△OAB的面积为S(O为 x(A)奇函数且在(0,??)上单调递增 (C)奇函数且在(0,??)上单调递减
(B)偶函数且在(0,??)上单调递增 (D)偶函数且在(0,??)上单调递减
第二部分 (非选择题 共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。 (9)已知△ABC中,a?2,b?2,c?1,则cosB? . (10)如图是甲,乙两名同学5次综合测评成绩的茎叶图,则乙的成绩的中位数是 , 甲乙两人中成绩较为稳定的是 . 2
(11)某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是 .
甲 9 0
8 1
8 9
3 8
乙 3 9
7
(12)已知圆C:x?y?4x?3?0,则圆心C的坐标是 ;若直线y?kx?1与圆C有
两个不同的交点,则k的取值范围是 .
22?y?1≥0,?(13)点P(x,y)在不等式组?x?y?1≥0, 表示的平面区域内,P到原点的距离的最大值为5,
?x≤a(a?0)?则a的值为 .
(14)已知正方形ABCD的边长为1,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为a1,a2,a3.若
uuuri,j?{1,2,3}且i?j,则(ai?aj)?CD的所有可能取值为 .
三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15)(本小题共13分)
2已知函数f(x)?3sin2x?2sinx.
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值. (16)(本小题共13分)
o如图,在三棱柱ABC?A1B1C1中,AA1?平面ABC,?ACB?90.以AB,BC为邻边作平行
?2四边形ABCD,连接DA1和DC1. (Ⅰ)求证:A1D//平面BCC1B1; (Ⅱ)求证:AC?平面ADA1.
A1C1B1ABDC
(17)(本小题共13分)
某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程(单次充电后能行驶的最大里程),被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间,将统计结果分 成5组:[50,100),[100,150),[150,200),[200,250),[250,300],绘制成如图所示的频率分布直方图.
频率/组距0.0080.005x0.00250100150200250300里程(公里)
(Ⅰ)求直方图中x的值;
(Ⅱ)求续驶里程在[200,300]的车辆数;
(Ⅲ)若从续驶里程在[200,300]的车辆中随机抽取2辆车,求其中恰有一辆车的续驶里程为[200,250)
的概率.
(18)(本小题共14分)
已知函数f(x)?e(x?1).
(Ⅰ)求曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(Ⅱ)若对于任意的x?(??,0),都有f(x)?k,求k的取值范围. (19)(本小题满分14分)
x2x2y2已知椭圆C:2+2?1(a?b?0)的一个焦点为F(1,0),离心率为.设P是椭圆C长轴上
2ab的一个动点,过点P且斜率为1的直线l交椭圆于A,B两点. (Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)求|PA|?|PB|的最大值.
(20)(本小题满分13分) 在等差数列?an?中,a1?a2?7,a3?8.令bn=(Ⅰ)求数列?an?的通项公式和Tn;
(Ⅱ)是否存在正整数m,n(1?m?n),使得T1,Tm,Tn成等比数列?若存在,求出所有
的m,n的值;若不存在,请说明理由.
221,数列?bn?的前n项和为Tn. anan?1
数学(文) 参考答案
一、选择题(每小题5分,共40分)
题号 答案 二、填空题(每小题5分,共30分,有两空的第一空3分,第二空2分) 1 D 2 C 3 A 4 C 5 B 6 B 7 D 8 B (9)
34 (10)87;甲 (11)
33
(12)(2,0);0?k?43 (13)3 (14)?1,?2
三、解答题(共6小题,共80分) 15.(本小题满分13分) 解:
(Ⅰ)f(x)?3sin2x?1?cos2x ?2sin(2x??6)?1 ∴f(x)的最小正周期 T?2?2??. (Ⅱ)Q0?x??2,???5?6?2x??6?6 ??12?sin(2x??6)?1 ?0?2sin(2x??6)?1?3
∴f(x)在区间[0,?2]上的最大值是3,最小值是0.
(16)(本小题共13分) 证明:
(Ⅰ)连接B1C,
------------------2分
-----------------5分
-----------------7分 ------------------4分 ------------------6分 A1C1B1ABDC
Q三棱柱ABC?A1B1C1中A1B1//AB且A1B1?AB,
由ABCD为平行四边形得CD//AB且CD?AB
?A1B1//CD且A1B1?CD ------------------2分 ?四边形A1B1CD为平行四边形,A1D//B1C ------------------4分 QB1C?平面BCC1B1,A1D?平面BCC1B1 ------------------6分 ?A1D//平面BCC1B1 ------------------7分
(Ⅱ) ∵平行四边形ABCD中,AC?BC,
∴AC?AD ------------------2分 ∵AA1?平面ABC,AC?平面ABC
∴AA1?AC ------------------4分 又∵ADIAA1?A,AA1?平面ADA1,AD?平面ADA1,
∴AC?平面ADA1. ------------------6分
(17)(本小题共13分) 解:
(Ⅰ)由直方图可得:0.002?50?0.005?50?0.008?50?x?50?0.002?50?1 ∴x?0.003. ------------------3分 (Ⅱ)由题意可知,续驶里程在[200,300]的车辆数为:
20?(0.003?50?0.002?50)?5 ------------------4分
(Ⅲ)由(Ⅱ)及题意可知,续驶里程在[200,250)的车辆数为3,分别记为A,B,C,
续驶里程在[250,300]的车辆数为2,分别记为a,b,
设事件A?“其中恰有一辆汽车的续驶里程为[200,250)” 从该5辆汽车中随机抽取2辆,所有的可能如下:
(A,B),(A,C),(A,a),(A,b),(B,C),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(a,b)共10种情况,
------------------3分
事件A包含的可能有(A,a),(A,b),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b)共6种情况,
------------------5分
则P(A)?63?. ------------------6分 105(未列举事件,只写对概率结果给2分)
(18)(本小题共14分) 解:
xxx(Ⅰ)f?(x)?e(x?1)?e?e(x?2) ------------------2分
f(0)?1,f?(0)?2 -----------------4分
∴曲线y?f(x)在(0,f(0))处的切线方程为
y?1?2(x?0), 即2x?y?1?0. -----------------6分
(Ⅱ)令f?(x)?0得x??2, -----------------2分 当x变化时,f(x)和f?(x)的变化情况如下表:
x (??,?2) ?2 0 极小值 (?2,0) ? ↗ f?(x) ? ↘ f(x) ∴f(x)在(??,?2)上递减,在(?2,0)上递增 -----------------4分 ∴f(x)在(??,0)上的最小值是f(?2)??e -----------------6分 ∴?e?2?2?k,即k??e?2
?2∴k的取值范围是(??,?e). -----------------8分 (19)(本小题满分14分) 解:
(Ⅰ)由已知,c?1,
∴ a?c2?, a22,b2?a2?c2?1 -----------------3分
x2?y2?1. -----------------4分 ∴ 椭圆的方程为2(Ⅱ)设点P(m,0)(?2?m?2),则直线l的方程为y?x?m, -----------------2分
?y?x?m?22由?x2 消去y,得3x?4mx?2m?2?0 -----------------4分
2?y?1??22m2?24m 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1?x2?,x1x2?
33-----------------6分
222222 ∴|PA|?|PB|?(x1?m)?y1?(x2?m)?y2
?2[(x1?x2)2?2x1x2?2m(x1?x2)?2m2]
4m22(2m2?2)4m?2[()??2m??2m2]
33348??m2? -----------------8分
93 ∵?2?m?2, 即 0?m2?2
22 ∴当m?0时,(|PA|?|PB|)max?8822,|PA|?|PB|的最大值为. 33---------------10分
(20)(本小题满分13分) 解:
?a1?a2?7?a1?a1?d?7(Ⅰ)设数列{an}的公差为d,由?得?
a?8a?2d?8?1?3解得a1?2,d?3
∴an?2?3(n?1)?3n?1 -----------------3分 ∵bn?111111???(?) anan?1(3n?1)[3(n?1)?1](3n?1)(3n?2)33n?13n?2∴Tn?b1?b2?L?bn ? ? ?111111111(?)?(?)?L?(?) 32535833n?13n?2111(?) 323n?2n ---------------6分
2(3n?2)mn1,Tm?,Tn?
2(3m?2)2(3n?2)10(Ⅱ)由(Ⅰ)知,T1?假设存在正整数m、n (1?m?n),使得T1、Tm、Tn成等比数列,
2则 Tm?T1?Tn, 即 [m1n]2?? ---------------2分
2(3m?2)102(3n?2)m2n?经化简,得
(3m?2)25(3n?2)∴(3m?2)n?15mn?10m
∴(?3m?6m?2)n?5m (*) ---------------3分 当m?2时,(*)式可化为 2n?20,所以n?10 ---------------5分 当m?3时,?3m?6m?2??3(m?1)?5??7?0
22222225m2?0,所以此时n无正整数解. 又∵5m?0,∴(*)式可化为 n??3m2?6m?22---------------7分
综上可知,存在满足条件的正整数m、n,此时m?2,n?10.
说明:每道解答题基本提供一种解题方法,如有其他解法请仿此标准给分。
高考模拟数学试卷
第Ⅰ卷
注意事项:
第Ⅰ卷共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 参考公式:
如果事件A、B互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B)
球的表面积公式
S?4?R2
其中R表示球的半径 球的体积公式
如果事件A、B相互独立,那么
P(A?B)?P(A)?P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么 n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率
kPn(k)?Cnpk(1?p)n?k(k?0,1,2?,n)
V?43?R 3其中R表示球的半径
一、选择题。(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)
(1)已知全集U?{1,2,3,4,5},集合A?{x|(x?1)(x?2)?0},B?{x|x?a?1, a?A},则集合U(A?B)等于
A. {1,2,5}
B. {3,4}
C. {3,4,5}
D. {1,2}
2(2)复数z满足(z?i)i??3?i,i为虚数单位,则z等于 A. 1?2i
B. 1?2i
x?2
C. ?1?2i D. ?1?2i
(3)已知f(x)?e,x?R,则函数y?f(x)的反函数为
B. y?2?lnx(x?0) D. y?2?lnx(x?0)
A. y?2?lnx(x??1) C. y?2?lnx(x??1)
x2y2??1,其左顶点为A,上顶点为B,右准线为l,则直线AB与直线l的交点(4)已知椭圆
2516的纵坐标为
A.
25 4 B.
32 3
C.
24 5
D.
17 2(5)已知{an}为等差数列,其前n项和为Sn,若a3=6,S3=12,则S12等于 A. 288
B. 90
C. 156
D. 126
(6)条件p:值范围是
A. (4,??)
1?2x?16,条件q:(x?2)(x?a)?0,若p是q的充分而不必要条件,则a的取4B. [?4,??)
22C. (??,?4] D. (??,?4)
x2y2(7)已知圆x?x?y?6经过双曲线2?2?1(a,b>0)的左顶点和右焦点,则双曲线的离
ab心率为
A.
3 2 B. 2 C.
3
D.
23 3(8)在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BDD1B1所成角的正弦值为 A.
10 5 B.
25 55C.
35 10 D.
3 10(9)(a?2x?3x)(1?x)的展开式中一次项x的系数为?3,则x5的系数为 A. 40
B. 41
C. 39
D. 38
(10)已知函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,|?|??3)的部分图像如图所示,则f()等于 22
A. ?3
B.
3 C. ?1
D. 1
(11)已知向量a,b是互相垂直的单位向量,且|c|=5,c?a?3,c?b?4,则对任意的实数t1,t2,
|c?t1a?t2b|取最小值时,t1?t2的值为
A. 5
B. 7
C. 12
D. 13
(12)已知f(x)是以2为周期的偶函数,当x?[0,1]时,f(x)?x的方程f(x)?kx?k(k?R)有4个根,则k的取值范围为
A. 0?k?x,那么在区间(?1,3)内,关于
31或k?
6431或k?
64
B. 0?k?1 41 4C. 0?k?
D. 0?k?第Ⅱ卷
第Ⅱ卷共10小题,共90分。
二、填空题。(本大题共4小题,每小题5分,共20分。)
(13)已知??(??2,0),cos???3,则tan(??)=___________________。
45?x?y?1?(14)设x,y满足约束条件?x?2y??2,则z?x?2y的最大值是____________。
?3x?2y?3?(15)甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且
每天至多安排一人,现要求甲安排在另外两位前面且丙不安排在周五,则不同的安排方法共有_______________种。
(16)已知底面为正三角形,侧棱长都相等的三棱锥S—ABC各顶点都在半球面上,其中A、B、C三顶点在底面圆周上,若三棱锥S—ABC的体积为23,则该半球的体积为______________。
三、解答题。(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
(17)(本小题满分10分)
在△ABC中,角A、B、C所对边分别是a、b、c,且cosA?(Ⅰ)求cos(B?C)?cos2A的值;
(Ⅱ)若a?22,b?c?4,求△ABC的面积。 (18)(本小题满分12分)
已知公比为q的等比数列{an}的前6项和为S6=21,且4a1,(Ⅰ)求an;
(Ⅱ)设{bn}是首项为2,公差为?a1的等差数列,其前n项和为Tn,求不等式Tn?bn?0的解集。 (19)(本小题满分12分)
甲、乙两名同学参加一项射击游戏,两人约定,其中任何一人每射击一次,击中目标得2分,未击中目标得0分。若甲、乙两名同学射击的命中率分别为
1。 33a2,a2成等差数列。 22和p,且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为25的概率为
9,假设甲、乙两人射击互不影响。 20(Ⅰ)若乙射击两次,求其得分为2的概率;
(Ⅱ)记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为?,求?的分布列和数学期望。 (20)(本小题满分12分)
如图,已知长方体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是边长为4的正方形,高AA1=42,P为CC1
的中点。
(Ⅰ)求证:BD⊥A1P;
(Ⅱ)求二面角C—PD—B的大小。 (21)(本小题满分12分)
x2y2??1的一个焦点重合,直线l过点A(4,0)已知抛物线C:y?2px(p?0)的焦点F与椭圆542且与抛物线交于P、Q两点。
(Ⅰ)求p的值;
(Ⅱ)若FP?FQ?FR,试求动点R的轨迹方程。 (22)(本小题满分12分) 已知函数f(x)?lnx?a(1?1),其中a为大于零的常数。 x(Ⅰ)若函数f(x)在区间[1,??)内单调递增,求实数a的取值范围; (Ⅱ)求证:对于任意的n?N,且n>1时,都有lnn?*111????恒成立。 23n【试题答案】 题号 答案
B
A
D
B
C
D
A
A
C
A
B
B
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12)
(13)?1 7(14)7 (15)14 (16)
216? 3
……2分 ……4分
(17)解:(Ⅰ)cos(B?C)?cos2A??cosA?2cosA?1
1110???2?()2?1??
339(Ⅱ)由余弦定理得:
288?a2?b2?c2?2bccosA?b2?c2?bc?(b?c)2?bc,
33又b+c=4,所以16?……6分
2281 ……8分 bc?8,即bc?3,由cosA?,得sinA?333
……10分
所以S?ABC?1122bcsinA??3??2 223(18)解:(Ⅰ)∵4a1、
3a2、a2成等差数列, 2
……2分 ……3分
∴4a1?a2?3a2,即4a1?2a2,∴q=2
a1(1?26)?21 则S6?1?2解得a1?
1 3 ……4分
2n?1∴an?
3 ……5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得?a1??,∴bn?2?(n?1)(?)?13137?n 3
……7分
n113n?n2Tn?2n?(n?1)(?)?
236∴Tn?bn?0??
……8分 ……10分
(n?1)(n?14)?0
6*解得1?n?14(n?N)
*即不等式Tn?bn?0的解集为{n?N|1?n?14}
……12分
(19)解:(Ⅰ)设“甲射击一次,击中目标”为事件A,“乙射击一次,击中目标”为事件B,“甲射击一次,未击中目标”为事件A,“乙射击一次,未击中目标”为事件B,
……2分
则P(A)?23,P(A)?,P(B)?p,P(B)?1?p 55 ……3分
依题意得
25(1?p)?395p?20,解得p?14 所以乙射击两次得分为2的概率是2p(1?p)?2?34?134?8 (Ⅱ)?的取值分别为0,2,4
P(??0)?P(AB)?P(A)P(B)?33995?4?20,P(??2)?20
P(??4)?P(AB)?P(A)P(B)?215?4?110 ∴?的分布列为
?
0 2 4
P
9 912020 10
E??0?9920?2?20?4?11310?10
(20)解:(Ⅰ)连结A1C1,AC, ∵ABCD—A1B1C1D1是长方体, ∴A1A⊥面ABCD
又BD?面ABCD,∴BD⊥A1A,又ABCD是正方形
∴BD⊥AC,AC∩A1A=A
∴BD⊥面A1AC,即BD⊥面A1ACC1 又A1P?面A1ACC1,∴BD⊥A1P
(Ⅱ)如图,以D为原点建立空间直角坐标系,由题意得
D(0,0,0),B(4,4,0),P(0,4,22),
于是BD?(?4,?4,0),PD?(0,?4,?22),
……5分
……6分 ……7分 ……8分
……9分
……10分 ……12分
……1分 ……2分
……4分 ……6分
……8分
设n1?面BDP,
不妨设n,y,2),由???4x?4y?0,?4y?42?0得???x?2,1?(x?
??y??2,∴n1?(2,?2,?2)
……10分
设n2?面CDP,取n2?(1,0,0), 若n1与n2的夹角为?,则cos??n1?n2|n?218?1?2
……11分
1||n2|据分析,二面角C—PD—B是锐角,∴二面角C—PD—B的大小为
?3 ……12分 x2(21)解:(Ⅰ)由椭圆的标准方程y25?4?1,得c?5?4?1, ……1分 所以其焦点坐标为(±1,0),
……3分 又抛物线C的焦点与椭圆的一个焦点重合,所以p2?1,得p=2
……5分(Ⅱ)设R(x,y),P(x1,y1),Q(x2,y2),
由FP?FQ?FR得(x1?1,y1)?(x2?1,y2)?(x?1,y), ……7分 所以x1?x2?x?1,y1?y2?y
……8分
而y24x21?1,y2?4x2,可得y(y1?y2)?(y1?y2)(y1?y2)?4(x1?x2)……9分 又FR的中点坐标为M??x?1y?2,?2?? y当x1≠x2时,利用k?k4y?yPQMA有222y?1x?x?1,整理得y?4x?28 1?x22?4当x1=x2时,R的坐标为(7,0),也满足y2?4x?28 ……11分 所以y2?4x?28即为动点R的轨迹方程 ……12分 (22)解:(Ⅰ)f?(x)?x?ax2(x?0)
……2分
由已知,得f?(x)?0在[1,??)上恒成立 即a?x在[1,??)上恒成立
……4分
又∵当x?[1,??)时,x?1, ∴a?1,即a的取值范围为(0,1]
……6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知函数f(x)?lnx?1x?1在[1,??)上为增函数, 当n?1时,∵
n?1f?n?1,∴?n??n?1???f(1)
……7分
……10分
即lnn?ln(n?1)?1*,对于n?N,且n>1恒成立, n ……9分
lnn?[lnn?ln(n?1)]?[ln(n?1)?ln(n?2)]???[ln3?ln2]?[ln2?ln1]
?1111????? nn?132* ……11分
∴对于n?N,且n?1时,lnn?111????恒成立 23n ……12分
高考模拟数学试卷
(考试时间:120分钟 总分:150分)
一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
A?xy?4?x21.已知集合
??,
B??xa?x?a?1?,若AUB?A,则实数a的取值范围为( )
A.(??,?3]U[2,??) B.
??1,2? C.??2,1? D.[2,??)
i20152.已知i是虚数单位,则1?i( )
1?i1?i?1?i?1?iA.2 B.2 C.2 D.2
3.如图所示的是函数f(x)?sin2x和函数g(x)的部分图象,函数g(x)的解析式是( )
则
?2?g(x)?sin(2x?)g(x)?sin(2x?)33A. B.
g(x)?cos(2x?C.
5??)g(x)?cos(2x?)6 D.6
2y2x??1F1,F244..设是双曲线的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一点P,使
uuuruuuuruuuuruuuruuuur(OP?OF2)?F2P?0(O为坐标原点)且|PF1|??|PF2|,则?的值为( ) 11A.2 B.2 C.3 D.3
5. 已知等差数列
?an?S?9,a2a4?21S的前n项和为n,且3,数列
?bn?满足
bb1b211??...?n?1?n?n?N??bn?a1a2an210,则n的最小值为( ),若
A.6 B.7 C.8 D.9 6.已知一个锥体挖去一个柱体后的三视图如图所示, 络上小正方形的边为1,则该几何体的体积等于( )
A.11? B.5?
长
11?C.3 D.3?
7.已知双曲线
mx2?y2?1?m?0?的右顶点为A,若双曲线右支上存在两点B,C使得
?ABC为等腰直角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A.
?1,2? B.?1,2?
ai?i?1,2,3,4?,此四边形内任一点P到
1,3???1,3? C. D.
8.如图所示,面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为
a1a2a3a42S????kh?2h?3h?4h?1234h?i?1,2,3,4?234k.类比以上第i条边的距离记为i,若1,则
性质,体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为
Si?i?1,2,3,4?,此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离
S1S2S3S4????KHi?i?1,2,3,4?H?2H2?3H3?4H41234记为,若,则1等于( )
3V2VVVA.2K B.K C.3K D.K
9.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0)的部分图象如图所示,下列结论:
①最小正周期为π;
?②将f(x)的图象向左平移6个单位,所得到的函数是偶函数;
③f(0)=1;
12?14?④f(11)其中正确的是( )
A.①②③ B.②③④ C.①④⑤ D.②③⑤ 10.设函数
f?x??ex?2x?a,若曲线y?cosx上存在点
?x0,y0?使得f?f?y0???y0,则实数a的
取值范围是( )
?e?1?1,1?1,e???? A. B.
?e?1?1,e?1?1,e?1???? C. D.
a1?1,a2?4,2an?an?1?an?1?n?2,n?N??an?298an??11.已知数列 中,,当时,序号n?( )
A.100 B.99 C.96 D.101
2xg(x)?f(x)?t?f(x)(t?R),若满足g(x)??1的x有四个,则t的取值f(x)?|x?e|12.已知,又
范围为( )
e2?1e2?1e2?1e2?1(?,?2)(,??)(??,?)(2,)eeeeA. B. C. D.
二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知函数
f?x??23sinxcosx?2cos2x?1,x?Rx?0???x?2y?1?0?x?y?0?,则
f?x?的最小正周期是 .
14.已知实数x,y满足不等式组
,且目标函数
z?ax?by?a?0,b?0?的最大值为2,则
21?ab的最小值为______________.
15.如图,将自然数按如下规则“放置”在平面直角坐标系中,使足条件:(1)每个自然数“放置”在一个“整点”(横纵坐标均为整点)上;(2)0在原点,1在
其满数的4在以是
?0,1?点,2在?1,1?点,3在?1,0?点,
?1,?1?点,5在?0,?1?点,…,即所有自然数按顺时针“缠绕”在
?2n?1?“0”为中心的“桩”上,则放置数字
_________.
2,n?N*的整点坐标
a2y?x?a与曲线y?ln(x?b)相切,b为正实数,16.已知a,直线则2?b的取值范围___________.
三.解答题:(本大题共6小题,请写出必要的文字说明和解答过程,共70分) 17.如图,在?ABC中,AB?2,
cosB?13,点D在线段BC上.
3?ADC??4,求AD的长; (I)若
4sin?BAD2(II)若BD?2DC,?ACD的面积为3,求sin?CAD的值.
2an?an?2Sn?n?4,a2?1,a3,a7?Snn18.已知各项均为正数的数列的前项和为,满足?1恰为等比数列
?bn?的前3项.
(1)求数列
?an?,?bn?的通项公式;
ncn???1?log2bn?(2)若
1anan?1,求数列
?cn?的前n项和为Tn.
=
19.如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB,AF=1,M是线段EF的中点.
(1)求证:AM∥平面BDE; (2)求二面角A-DF-B的大小;
(3)试在线段AC上确定一点P,使得PF与BC所成的角是60°.
222222F:(x?1)?y?r与圆F:(x?1)?y?(4?r)(0?r?4)的公共点的轨迹为曲线1220.已知圆
E,且曲线E与y轴的正半轴相交于点M.若曲线E上相异两点A、B满足直线MA,MB的斜率之积为
14.
(Ⅰ)求E的方程;
(Ⅱ)证明直线AB恒过定点,并求定点的坐标; (Ⅲ)求?ABM的面积的最大值.
2g(x)?xf(x)?2lnx?ax21.已知函数,。
(1)若函数f(x)在(2,f(2))处的切线与函数g(x)在(2,g(2))处的切线互相平行,求实数a的值; (2)设函数H(x)?f(x)?g(x)。
(ⅰ)当实数a?0时,试判断函数y?H(x)在[1,??]上的单调性;
(ⅱ)如果
x1,x2(x1?x2)?是H(x)的两个零点,H(x)为函数H(x)的导函数,证明:
H?(x1?x2)?02。
??22.已知点P(1?cos?,sin?),???0,??,点Q在曲线C:(Ⅰ)求点P的轨迹方程和曲线C的直角坐标方程; (Ⅱ)求
102sin(??)4上.
?PQ的最小值.
.
23.设函数
f?x??x?a?x?1?af?x??(Ⅰ)当a?1时,求不等式(Ⅱ)若对任意 参考答案
12的解集;
的解集为空集,求实数b的取值范围
a??0,1?,不等式
f?x??b1.BCABD 6.ACCBD AD
x2y2??1?x?R,cosx?sinx?113. 14.2516
23415.17 16.16
2?b5C??3 17.(1)a3;(2)5sin2AsinB?sinBcos2A?sinA3, 5sinB(sin2A?cos2A)?sinA3即, 5b5sinB?sinA?3a3. 故,所以
88c2?a2?b2?9t2??25t2?49t255(2)设b?5t(t?0),则a?3t,于是.
即c?7t.
a2?b2?c29t2?25t2?49t21cosC????2ab2?3t?5t2. 由余弦定理得
C?所以
2?3.
18.(1)an?n;(2)m?1,n?2. (1)当n?1时a1?S1?1 当n?2时
an?Sn?Sn?1?n(n?1)n(n?1)??n22
经验证,a1?1满足上式,故数列{an}的通项公式an?n;
(2)由题意,易得
Tn?1123n123nTn?2?3?4?L?n+1?2?3?L?n2222, 2222,则2n?211123n1nTn?2?nTn??2?3?4?L?n+1?1?n?n+12 2222222,所以两式相减得2由于Tn?2,又
2?n?2?m?m?12n,解得n?2.
6019.(1)证明见解析;(2)30;(3)4.
(1)∵平面ABCD?平面ABEF,CB?AB,
平面ABCDI平面ABEF?AB,∴CB?平面ABEF, ∵AF?平面ABEF,∴AF?CB,
又∵AB为圆O的直径,∴AF?BF,∴AF?平面CBF, ∵AF?平面ADF,∴平面DAF?平面CBF (2)根据(1)的证明,有AF?平面CBF,
∴FB为AB在平面CBF内的射影,
因此,?ABF为直线AB与平面CBF所成的角,
∵AB//EF,∴四边形ABEF为等腰梯形,过点F作FH?AB,交AB于H,
AB?2,EF?1,则
AH?AB?EF1?22,
2在Rt?AFB中,根据射影定理AF?AHgAB,得AF?1,
sin?ABF?AF1?AB2,∴?ABF?300,
∴直线AB与平面CBF所成角的大小为30°
(3)
设EF中点为G,以O为坐标原点,OA、OG、AD方向分别为x轴、y轴、z轴方向建立空间直角坐标系(如图).设
AD?t?t?0??1,0,t?,则C??1,0,t?,又
,则点D的坐标为
uuuvuuuv?1?13?3?A?1,0,0?,B??1,0,0?,F?,,0CD?2,0,0,FD?,?,t?????22???22???,∴??,
2x?0???3uuuvuuuvy?tz?0??n1??x,y,z?ngCD?0,mgFD?0?2DCF设平面的法向量为,则1,即,
令z?∴
3,解得x?0,y?2t.
n1?0,2t,3??.
?13?n2?AF????2,2,0????, 由(1)可知AF?平面CFB,取平面CBF的一个法向量为
ngncos60?12n1n20∴
3t16?t?224t?3g1,解得4, ,即
6因此,当AD的长为4时,平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60° ?7?M??,0?20.(1)x?3y?1?0;(2)?3?.
22x?3y?5, (1)易求椭圆的方程为
直线斜率不存在时显然不成立,设直线
AB:y?k?x?1?,
将
AB:y?k?x?1?22x?3y?5, 代入椭圆的方程
3k2?1?x2?6k2x?3k2?5?0?y消去整理得,
???36k4?4?3k2?1??3k2?5??0??6k2x1?x2??2?A?x1,y1?,B?x2,y2?3k?1设,则?, 31k??3, 因为线段AB的中点的横坐标为2,解得
?所以直线AB的方程为x?3y?1?0 (2)假设在x轴上存在点
M?m,0?MB为常数, ,使得MAg6k23k2?5x1?x2??2,x1gx2?2x3k?13k?1, AB①当直线与轴不垂直时,由(1)知
uuuvuuuvMAgMB??x1?m??x2?m??y1y2??k2?1?x1x2??k2?m??x1?x2??k2?m2所以
16m?14?m2?2m??33?3k2?1?,
MB是与k无关的常数,从而有因为MAguuuvuuuv4MAgMB?9 此时
6m?14?0,m??73,
②当直线AB与x轴垂直时,此时结论成立,
?7?4M??,0?MAgMB?9,为常数. 综上可知,在x轴上存在定点?3?,使
21.(1)
???,?1?U??2,???;
(2)证明见解析.
???f??x??cosx?sinx?a?2sin?x???a4??(1)
?????????,x??,???f?x??22?上单调递增,则当?22?,f??x??0恒成立, 若在????3?????2??????????x???,,sinx???,1,2sinx??????????1,2?x???,????444424??????22????时,当,
此时a??1;
?????,?f?x??若在?22?上单调递减,同理可得a?2.
2,?????,?1?U??a所以的取值范围是
?a?(2)
2?时,
f?x??sinx?cosx???2?x,f??x??2sin?x????4?? ?2??????0,,????f??x??x??0,??44?上单调递增,在??上单调递减, 当时,在?f??0??1?2??0,f??x???1?2??0
???x0??,???4?,使得在?0,x0?上f??x??0,在?x0,??上f??x??0, ∴存在
所以函数故在
f?x?在
?0,x0?上单调递增,在?x0,??上单调递减
?0,??上,f?x?min?min?f?0?,f??????1,所以f?x???1在x??0,??上恒成立
22.(1)(??,?3]U[3,??);(2)(2,??) (1)原不等式等价于
x??2??2?x?(x?2)??2x?6解得x??3 ① ??2?x?2???2?x?x?2?4?6解得x?? x?2???x?2?x?2?2x?6解得x?3
?原不等式的解集为(??,?3]U[3,??)
g(x)min?a(2)令g(x)?f(x)?x,则由题知g(x)?a的解集不为空集,即成立
又
??3x,x??2?g(x)??4?x,?2?x?2?x,x?2?,结合图像可知
g(x)min?2,即a?2,
?a的取值范围为(2,??)
A(2,?),B(2,)(x?5)?(y?3)?2x?y?2?02,4. 23.(1) ,;(2)
22??x??5?2cost,?22y?3?2sint(x?5)?(y?3)?2, ?t(1)由消去参数,得
22(x?5)?(y?3)?2. C所以圆的普通方程为
2??cos(??)??14由2,得?cos???sin???2,
所以直线l的直角坐标方程为x?y?2?0.
A(2,?),B(2,)A(?2,0),B(0,2)ylx2, (2)直线与轴,轴的交点为,化为极坐标为
?设P点的坐标为(?5?2cost,3?2sint),则P点到直线l的距离为
?5?2cost?3?2sint?2?6?2cos(t?4)d??22, dmin?∴
?4?22AB?222,又,
1S???22?22?42所以?PAB面积的最小值是.
高考模拟数学试卷
考试说明:本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.
(1)答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚;
(2)选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚;
(3)请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试题卷上答题无效; (4)保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀. 参考公式:
样本数据的标准差,其中为样本的平均数
柱体体积公式为高
,其中为底面面积,为高;锥体体积公式,其中为底面面积,
球的表面积和体积公式,,其中为球的半径
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的. 1.设全集A.
B.
,集合
C.
,
,则
D.
( )
2. 已知复数
,则( )
A. 3. 设A.C.
B. C. D.
是定义在R上的函数,则“
B.
不是奇函数”的充要条件是( )
D.
4. 已知双曲线
线的方程为( )
的离心率为2,且右焦点到一条渐近线的距离为 ,双曲
A. B. C. D.
5. 若实数满足不等式组,则的最大值为( )
A.0 B.1 C.2 D.4 6. 已知各项均为正数的等比数列A.
B.
的前n项和为
C.
,若
D.
,则( )
7. 设函数,则的值为( )
D.
,则使
A. B. C. 8. 等差数列
的前项和为
,
取得最小值时= ( )
A.4 B.5 C.6 D.7 9. 已知角
的终边在射线
上,函数
(
)图像的相邻两条对称轴
之间的距离等于,则( )
A.
B. C. D.
10.如图是把二进制数
则输出的S=( )
化为十进制数的一个程序框图,
A.15 B.30 C.31 D.63 11.已知且A.
、、是球=60o ,
的球面上三点,三棱锥=2,
=4,则球
的高为
,
的表面积为( )
B. C. D.
12.点P从点O出发,按逆时针方向沿周长为的图形运动一周, O,P两点连线的距离与点P走过的路程的函数关系式如图,那么点P所走的图形是( )
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
本试卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在机读卡上相应的位置.
13. 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,则他等待的时间不多于10分钟的概率为
14. 已知向量
15. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 16. 已知以
为焦点的抛物线
上的两点
满足
,
,则
.
, 若弦
的中点到准线的距离为,则抛物线的方程为
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分)
在
中,设边
所对的角分别为
,且
.已知
的面积为
,
,
(Ⅰ)求(Ⅱ)求
18.(本小题满分12分) 如图,直三棱柱(1)证明:(2)求点
平面到平面的值;
的值.
.
的所有棱长均为2,; 的距离.
,分别为和的中点.
19.(本小题满分12分)
(Ⅰ)若=19,求y与x的函数解析式;
(Ⅱ)若要求“流失的教师数不大于”的频率不小于0.5,求
20.(本小题满分12分)
的最小值;
椭圆于
:
两点,定点
的方程; 面积为
.
过点且离心率为,为椭圆的右焦点,过的直线交椭圆
(Ⅰ)求椭圆(Ⅱ)若
,求直线的方程.
21.(本小题满分12分) 设函数(Ⅰ)求函数(Ⅱ)若函数
的单调区间; 有两个零点
,求满足条件的最小正整数的值;
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的的第一题记分. 22.(本小题满分10分)
选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线(为参数),以原点为极点,以正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
.
(Ⅰ)写出曲线
的普通方程,曲线
的直角坐标方程;
(Ⅱ)若
,且曲线与曲线交于两个不同的点,求的值。
23.(本小题满分10分) 选修4—5:不等式选讲 设
(Ⅰ)解不等式(Ⅱ)对任意的,
.
;
恒成立,求实数
的取值范围.
文科数学答案
一、
选择题:CACBD AABDC CC
二、13. 14. 9 15. 16.
三、解答题:
17、(1) 18. (1)证明:
(2)
19.解
:
(Ⅰ)当
时
,
;
当
时
,
,所以
与
的函数解析式为
.
(Ⅱ)由柱状图知,流失的教师数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故
的最小值为19.
20.(1) (2)
21. 解:(Ⅰ)当
时,
在(0,+∞)上恒成立,所以函数
.
单调递增区间为(0,+∞),此时
无单
调减区间.
当时,由,得,,得,
所以函数的单调增区间为,单调减区间为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知函数有两个零点,所以,的最小值,即
.因为,所以.令,显然在(0,
+∞)上为增函数,且存在a0∈(2,3),h(a0)=0.当a>a0时,h
(a)>0;当0<a<a0时,h(a)<0,所以满足条件的最小正整数a=3.