第5讲 三角函数的图象与性质
1．函数y＝tan?
?π－x?的定义域是________．
??4?
?π??π?[解析] y＝tan?－x?＝－tan?x－?，
4??4??
ππ
由x－≠＋kπ，k∈Z
423π
得x≠kπ＋，k∈Z.
4
??3π?[答案] x|x≠kπ＋，k∈Z?
4??
π??2．(2018·苏州联考)已知f(x)＝2sin?2x＋?，则函数f(x)的最小正周期为________，
3??
f??＝________．
6
2π2π?π?[解析] T＝＝π，f??＝2sin＝3. 23?6?[答案] π
3
?π???
π??π??3．已知ω>0，函数f(x)＝sin?ωx＋?在?，π?上是减函数，则ω的取值范围是4??2??________．
ππ?πππππ?π
[解析] 由 44?22444?2 ?π＋2kπ，3π＋2kπ?(k∈Z)且2π≥2×?π－π?， ?2??22?ω???? πππ ω＋≥＋2kπ，k∈Z，??242则?且0<ω≤2， π3π ??πω＋4≤2＋2kπ，k∈Z，15故≤ω≤. 24 ?15?[答案] ?，? ?24? 4．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________． T?π??2?π [解析] 由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象可知：＝?－?－?－π?＝， 2?3??3?3 2则T＝π. 3 2π2 因为T＝＝π，所以ω＝3. ω3[答案] 3 5．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φπ ＝”的________条件． 2 π?π?解析：φ＝?f(x)＝Acos?ωx＋?＝－Asin ωx为奇函数， 2?2?π 所以“f(x)是奇函数”是“φ＝”的必要条件． 2 ππ 又f(x)＝Acos(ωx＋φ)是奇函数?f(0)＝0?φ＝＋kπ(k∈Z)?/ φ＝. 22π 所以“f(x)是奇函数”不是“φ＝”的充分条件． 2答案：必要不充分 ?π?6．已知x∈(0，π]，关于x的方程2sin?x＋?＝a有两个不同的实数解，则实数a3?? 的取值范围为________． ?π?解析：令y1＝2sin?x＋?，x∈(0，π]，y2＝a，作出y1的图象如图所示． 3?? ?π?若2sin?x＋?＝a在(0，π]上有两个不同的实数解，则y1与y2应有两个不同的交点， 3?? 所以3 答案：(3，2) π??π 7．设函数f(x)＝3sin?x＋?，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有 4??2 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________． 解析：因为对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立， 所以f(x1)，f(x2)分别为函数f(x)的最小值和最大值， 112π 所以|x1－x2|的最小值为T＝×＝2. 22π 2答案：2 8．(2018·江苏省高考名校联考(八))已知函数f(x)＝Asin(ωx＋π???5π?φ)?A＞0，ω＞0，|φ|＜?的部分图象如图所示，则f?－?的值为________． 2???12? 12πππ 解析：由函数f(x)的部分图象可知，A＝2，T＝－＝，得T＝π，所以ω＝2. 2362ππππ 当x＝时，f(x)＝2，即sin(2×＋φ)＝1，又|φ|<，所以φ＝，故f(x)＝2sin(2x6626π5π5ππ2π ＋)，所以f(－)＝2sin(－＋)＝2sin(－)＝－3. 612663 答案：－3 9．函数y＝sinx－cos x＋sin xcos x，x∈[0，π]的最大值与最小值之和为________． 解析：令t＝sin x－cos x，又x∈[0，π]， ?π?所以t＝2sin?x－?，t∈[－1，2]． 4?? 由t＝sin x－cos x，得t＝1－2sin xcos x， 1－t即sin xcos x＝. 2 1－t所以原函数变为y＝t＋，t∈[－1，2]． 2121 即y＝－t＋t＋. 22 11 所以当t＝1时，ymax＝－＋1＋＝1； 2211 当t＝－1时，ymin＝－－1＋＝－1. 22故函数的最大值与最小值之和为0. 答案：0 10．(2018·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(六))已知函数 2 2 2 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，
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