是椭圆O上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为。
21 ①求四边形APBQ面积的最大值；
②设直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，判断k1+k2的值是否为常数，并说明理由．
22．(本小题满分l3分)已知函数f(x)?alnx?ax?3(a?R)． (I)若a=-1，求函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若函数y?f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45o，对于任意的t? [1，2]，函数g(x)?x3?x2[f'(x)?是单调函数，求m的取值范围； (Ⅲ)求证：
2013年济宁市高三模拟考试
ln22?ln33?ln44?...?lnnn?1n(n?2,n?N)
*m2](f'(x)是f(x)的导函数)在区间(t,3)上总不
数学（理工类）试题参考答案及评分标准
一 、选择题：每小题5分，共60分.
1～5 DACCB 6～10 DDDAB 11～12 CA 13. 三、解答题：共74分. 17．解：（Ⅰ）?cosB?255sinB?且B?(0,180)，∴
??23 14. 10 15. 125 16. ①③④
1?cos2B?55 ????2分
cosC?cos(??A?B)?cos(3?4?B) ?????????????????4分
- 5 -
?cos
3?4cosB?sin3?4sinB??222?255?22?101055)2??310101010 ??????????6分 ????????8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinC?1?cosC?1?(??由正弦定理得
BCsinAsinC?AB，即
2522?3AB1010，解得AB?6． ????????????10分
在?BCD中，CD2?(25)?3?2?3?25?22255?5，所以CD?5
18.解：（Ⅰ）该项新技术的三项不同指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件A、B、C，
则事件“得分不低于8分”表示为ABC+ABC. ?彼此独立?P(（B）P（C=
ABC与ABC为互斥事件，且A、B、C为
ABC+ABC)=P（ABC）+P（ABC） =P（A）P（B）P（C）+P（A）P34?23?12?34?13?12?38. ????????4分
（Ⅱ）该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数X的取值为0,1,2,3. ?P(X?0)=P（ABC）=
14?13?12=
1243434,
?1323?1212P(X?1)=P（ABC+ABC+ABC）=+
14?23?1212+
14?13?1212=
14, ?????6分 ,
P(X?2)=P（ABC+ABC+ABC）=
??+
14?23?+
34?13?=
1124P(X?3)=P（ABC）=
34?23?12=
14, ??????????????????????8分
随机变量X的分布列为
X P 0 1241 142 11243 14
?C?F?GAEOB?D?EX=0?124+1?14+2?1124+3?14=
2312. ?????????????????????12分
19.（方法一）：证明：（Ⅰ）如右图，连接CO，
????CAB?45，?CO?AB. ?1分 又?F为弧BC的中点，??FOB?45，
?OF//AC. ????OF?平面ACD，AC?平面ACD，
（Ⅱ）过O作OE?AD于E，连CE． ?OF//平面ACD． ?解：
?CO?AB，平面ABC⊥平面ABD． ?CO⊥平面ABD．又?AD?平面ABD， ?CO?AD， ?AD?平面CEO，AD?CE，则∠CEO是二面角C-AD-B的平面角．?
- 6 -
???OAD?60，OA?2， ?OE?3. 由CO⊥平面ABD，OE?平面ABD，得?CEO为直角三角形，?CO?2，?CE?7?cos?CEO=
37=
?217． ???8分
（Ⅲ）取弧BD的中点G，连结OG、FG，则?BOG=?BAD=60
?OG//AD??OF//平面ACD，?平面OFG//平面ACDFG//平面ACD. ?????
因此，在弧BD上存在点G，使得FG//平面ACD，且点G为弧BD的中点．?12分 （方法二）：证明：（Ⅰ）如图，以AB所在的直线为yz?轴，以OC所在的直线为z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系O?xyz则A?0,?2,0?C?0,0,2?．?? 1分C?FAO?GByAC?(0,0,2)?(0,?2,0)?(0,2,2)，
?点F为弧BC的中点，?点F的坐标为0,?????OF??D?2,2，?xOF?(0,2,2)． 2?????（Ⅱ）??DAB?60，?点D的坐标DAC解：
2?????3,?1,0，AD?(3,1,0)．
???设二面角C-AD-B的大小为?，n1??x,y,z?为平面ACD的一个法向量．
????????x,y,z???0,2,2??0,????n1?AC?0,?2y?2z?0,由??????? 有? 即?
?x,y,z??3,1,0?0,????3x?y?0.?n1?AD?0,???取x?1，解得y??3，z???3． ?n1=1,-3,3． ????????????5分
?????取平面ADB的一个法向量n2=?0,0,1?， ?????????????????????6分 ?????1?0?(?3)?0?n1?n2?????cos????|n1|?|n2|7?1（Ⅲ）设在弧BD上存在点G(x,y,0),
2,?2),由（Ⅱ）知平面ACD的一个法向量为n=1,-3?1?217． ???????????8分
FG?(x,y??3,3．
?
FG?n?(x,y?222,?2)?1,-3,3=x???3(y?2)?6?x?3y?0 ① ?????9分
????又因为 x?y?4 ②由①②两式联立解得G(3,1,0)，?11分?OG?????AD?(?3,1,0?，因为
OG//AD,则G为弧BD的中点，因此，在弧BD上存在点G，使得FG//平3,1,0)，所以
面ACD，且点G为弧BD的中点． ???12分
- 7 -
20. 解：（Ⅰ）在Sn??an?()1n?12?2中，令n=1，可得S1??an?1?2?a1，即a1?n?212.
当n?2时，Sn?1??an?1?()121n?1， ?∴?2∴an?Sn?Sn?1??an?an?1?()21n?1nn?1n2an?an?1?()，即2an?2an?1?1.∵bn?2an，∴bn?bn?1?1，即当n?2时，
2bn?bn?1?1. ??又b1?2a1?1，∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.
于是bn?1?(n?1)?1?n?2an，∴an?（Ⅱ）∵cn?log∴
n2nn2n. ????????????????6分
an?log2n2?n,
2cncn+2=132n(n+2))?(12?1214?=1n-131n+2?15, ???????????????????????8分
1n?1?1n?11n?1)?(1n?1n?21342)=1?12?1n?1?1n?2∴Tn?(1?由Tn?f(n)?)?(1)???(1?2521. ?10分
25211，得1??1n?1?n?2，即
920?1n?2?，
n?1n?2单调递减，∵f(4)?,f(5)?1342，
∴n的最大值为4. ????????????????????????????????12分 21.解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为
xa22?12yb,a22?1(a?b?0) . ????????????1分
22 由已知b=23 离心率e?ca?22?b?c ,得a?4
所以，椭圆C的方程为
x216?y12?1. ???????????????????????4分
（Ⅱ）①由（Ⅰ）可求得点P、Q的坐标为P(2,3) ，Q(2,?3)，则|PQ|?6， ?????5分
22设A?x1,y1?,B(x2,y2),直线AB的方程为y?12x?t，代人
x16?y12?1
得：x2?tx?t?12?0.
2由△>0,解得?4?t?4，由根与系数的关系得??x1?x2??t?x1x2?t?1222 ?????????7分
四边形APBQ的面积s?12?6?x1?x2?3?(x1?x2)?4x1x2?348?3t
2故当t?0,Smax?123
?②由题意知，直线PA的斜率k1?y1?3x1?2，直线PB的斜率k2?y2?3x2?2
- 8 -
1则k1?k2?y1?3x1?2?y2?3x2?2?2x1?t?3x1?21?2x2?t?3x2?2 ?????????10分
1=2(x1?2)?t?2x1?21?2(x2?2)?t?2x2?2?1?t?2x1?2?t?2x2?2
=1?(t?2)(x1?x2?4)x1x2?2(x1?x2)?4，由①知??x1?x2??t?x1x2?t?122
可得k1?k2?1?(t?2)(?t?4)t?12?2t?42?1??t?2t?8t?2t?822?1?1?0
所以k1?k2的值为常数0. ??????????????????????????13分 22.解：（Ⅰ）当a??1时，f'(x)?
(x?1)x (x?0) 解f'(x)?0得x?(1,??)；解f'(x)?0得x?(0,1)f(x)的单调增区间为?1,???，减区间为?0,1? . ???4分 （Ⅱ） ∵f'(x)?a(1?x)x2(x?0)∴f'(2)??2a2?1得a??2，f(x)??2lnx?2x?3
g(x)?x?(3m2?2)x?2x，∴g'(x)?3x?(m?4)x?2
?g'(t)?0∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，且g?0???2∴? ???????7分
g'(3)?0?'由题意知：对于任意的t?[1,2]，g'(t)?0恒成立，
?g'(1)?0?37所以，?g'(2)?0，∴??m??9. ???（Ⅲ）证明如下： 由（Ⅰ）可知
3?g'(3)?0?当x?(1,??)时f(x)?f(1)，即?lnx?x?1?0，
∴0?lnx?x?1对一切x?(1,??)成立．???????????????????10分 ∵n?2,n?N*，则有0?lnn?n?1，∴0?lnnn?n?1n. ???????11分
?ln2ln3ln4lnn123n?11?????????????(n?2,n?N). ???13分 234n234nn
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