第2课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用
考点 三角函数解析式的确定 三角函数的性质
问题导学
预习教材P54－P55，并思考下列问题：
1．在简谐运动中，y＝Asin(ωx＋φ)的初相、振幅、周期分别为多少？ 2．函数y＝Asin(ωx＋φ)有哪些性质？
函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
学习目标 能根据y＝Asin(ωx＋φ)的图象，确定其解析式 掌握三角函数的综合性质 核心素养 直观想象 直观想象、数学运算
■名师点拨 当A<0或ω<0时，应先用诱导公式将x的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确ππ??
定初相φ.如函数y＝－sin?2x－?的初相不是φ＝－.
44??
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的最大值为A.( ) (2)函数y＝Asin(ωx－φ)的初相为φ.( )
ππ
(3)“五点法”作函数y＝2sin?x＋?在一个周期上的简图时，第一个点为?，0?.( )
?3??3?答案：(1)× (2)× (3)×
xπ
函数y＝2sin?＋?的周期、振幅依次是( )
?25?A．4π，－2 C．π，2
B．4π，2 D．π，－2
答案：B
函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象如图，则它的振幅A与最小正周期T分别是( )
5π5π
A．A＝3，T＝ B．A＝3，T＝
635π3
C．A＝，T＝
26答案：D
π
函数f(x)＝sin?x－?的图象的对称轴方程是________．
?4?3π
答案：x＝kπ＋，k∈Z
4
由图象求三角函数的解析式
π
函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)?A>0，ω>0，|φ|
2??
式为______________．
5π3
D．A＝，T＝
23
Tπ?π?π
【解析】 由题图得A＝2，＝－?－?＝，即T＝π.
23?6?22π
由ω>0，T＝＝π得ω＝2.
ωπππππ
又当x＝时，ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝2kπ－
32326ππ
(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝－.
26
π??
因此f(x)＝2sin?2x－?(x∈R)．
6??π
【答案】 f(x)＝2sin?2x－?，x∈R.
6??
根据函数的部分图象求解析式的方法
(1)直接从图象确定振幅和周期，则可确定函数式y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A和ω，再π
选取最大值点的数据代入ωx＋φ＝2kπ＋，k∈Z，结合φ的范围求出φ.
2
(2)通过若干特殊点代入函数式，通过解方程组求相关待定系数A，ω，φ.
(3)运用逆向思维的方法，先确定函数的基本函数式y＝Asin ωx，再根据图象平移规律确定相关的参数．
1.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分图象如图所示，如果A>0，ω>0，|φ|<
A．A＝4 B．ω＝1 π
C．φ＝
6D．B＝4
5πππππ1
解析：选C.由图象可知，A＝2，T＝－＝，T＝π，ω＝2.因为2×＋φ＝，所
4126462π
以φ＝，故选C.
6
π
2．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)?A>0，ω>0，0<φ
2??π5
0，?，求这个函数的解析式． 最高点与最低点的横坐标相差，且图象经过点??2?4
Tπ
解：由题意知A＝5，＝，
24π2π
所以T＝＝，所以ω＝4，
2ω所以y＝5sin(4x＋φ)．
π
，则( ) 2
55
0，?，所以＝5sin φ， 又因为图象经过点??2?2
π5πππ1
即sin φ＝，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)或φ＝＋2kπ(k∈Z)，又因为0<φ<，所以φ＝，
26626π??
所以这个函数的解析式为y＝5sin?4x＋?.
6??
三角函数图象的对称性
π
已知函数f(x)＝sin?ωx＋?(ω＞0)的最小正周期为π，求该函数的对称轴方程．
3??2ππ??
【解】 由T＝＝π，解得ω＝2，则f(x)＝sin?2x＋?，
3??ωππkππkππ
令2x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，即对称轴方程为x＝＋，k∈Z.
32212212
1．[变问法]本例中函数不变，则函数的对称中心为________． πkππ
解析：令2x＋＝kπ，得x＝－(k∈Z)．
326所以该函数的对称中心为?答案：?
?kππ?
?，(k∈Z)．
?2－6，0?
kππ?
?2－6，0?，k∈Z
1π
2．[变条件]若本例中函数变为f(x)＝cos?x＋?，则对称轴方程为________．
?23?1π
解析：令x＋＝kπ，k∈Z，
232
得x＝2kπ－π，k∈Z.
32π
答案：x＝2kπ－，k∈Z
3
三角函数对称轴、对称中心的求法
y＝Asin(ωx＋φ) 对称轴 令ωx＋φ＝ 对称中心 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求对称
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