人教版高一数学必修四第一章函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用

π

所以2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，

6(10分)

由y≤0列出不等式是本问求解的关键，否则不得分

π5

所以kπ－π≤x≤kπ＋(k∈Z)，

1212所以使y≤0时，x的取值范围是

??π5

?x|kπ－π≤x≤kπ＋，k∈Z?.(12分)

1212??

(1)对于y＝Asin(ωx＋φ)主要研究其单调性、最值、奇偶性、图象的对称性等，应注意采π3π

用整体代换的思想．如，它在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)

22时取得最小值．

(2)本例中(2)(3)问都体现整体思想．

π11

1．简谐运动y＝sin?πx－?的频率f＝__________．

4?312?2π11

解析：周期T＝＝6，则频率f＝＝.

1T6π31答案： 6

2．函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)图象的一条对称轴是直线x＝________．

ππ

解析：由题意知2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，

62π

所以φ＝＋kπ，k∈Z，又－π＜φ＜0，

65

所以φ＝－π.

6

π

，则φ的值为6

5

答案：－π

6

π

3．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)?ω>0，A>0，|φ|

2??(1)求函数f(x)的解析式；

ππ

(2)求函数y＝f(x)在?－，?上的值域．

?46?

T2π7πππ

解：(1)由图象可知A＝1，＝＝－＝，所以ω＝2.

44ω1234π

又由图象知2·＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，

3

ππππ??

所以φ＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin?2x＋?.

3233??π?π2π??ππ?

(2)当x∈?－，?时，2x＋∈?－，?，

3?63??46?1π??

－，1?， 所以f(x)＝sin?2x＋?∈?

3??2??1

－，1?. 所以函数f(x)的值域为??2?

[A 基础达标]

π

1．y＝2sin?2x－?的振幅、频率和初相分别为( )

4??π1

A．2，，－

4ππ1

C．2，，－ 8π

π1

B．2，，－ 42ππ1

D．2，，－

82π

π??

解析：选A.由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin?2x－?的振幅为2，周期为

4??π1

π，频率为，初相为－，故选A.

4π

ππ

2．下列函数中，周期为π，且在?，?上为减函数的是( )

?42?π

A．y＝sin?2x＋?

2??π

C．y＝sin?x＋?

?2?

π

B．y＝cos?2x＋?

2??π

D．y＝cos?x＋?

?2?

π?ππ?

解析：选A.选项C，D的周期为2π，所以排除；选项A，B，当x∈?，?时，2x＋

2?42?3π?π???

π，π?，y＝sin?2x＋?为减函数，y＝cos?2x＋?为增函数，故选A. ∈??2?2?2???

ππ3．(2019·贵阳市第一学期检测)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)?ω>0，－<φ

22??图象如图所示，则φ的值为( )

π

A．－

3πC．－

6

πB. 3πD. 6

2πTπππ

解析：选B.由题意，得＝＋＝，所以T＝π，由T＝，得ω＝2，由图可知A＝

2362ωπππ?π??2π?

1，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．又f??＝sin?＋φ?＝0，－<φ<，所以φ＝，故选B.

223?3??3?

2ππ

4．设f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的定义域为R，周期为，初相为，值域

36为[－1，3]，则函数f(x)的解析式为( )

π

A．f(x)＝2sin?3x＋?＋1

6??π

B．f(x)＝2sin?3x＋?－1

6??π

C．f(x)＝－2sin?3x＋?－1

6??π

D．f(x)＝2sin?3x－?＋1

6??

解析：选A.因为－A＋B＝－1，A＋B＝3，所以A＝2，B＝1， 2π2ππ

因为T＝＝，所以ω＝3，又φ＝，

6ω3π??

故f(x)＝2sin?3x＋?＋1.

6??

π

5．若将函数y＝sin?2x－?的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，

4??π

再向右平移个单位，则所得函数g(x)图象的一个对称中心为( )

6

A.?

5π?π

，0 B.?，0? ?12??4?

ππ

C.?，0? D.?，0? ?6??12?

π??

解析：选A.将y＝sin?2x－?的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，

4??ππ???1?π??可以得到y＝sin?2x－?＝sin?x－4?的图象，再向右平移个单位可以得到y＝

6??2?4???π?π??5π??5π??5π?

sin??x－?－?＝sin?x－?的图象，因此，g(x)＝sin?x－?，由g??＝sin 0＝0，选项A

?12??12??12???6?4?

正确．

π

6．函数y＝2sin?2x－?与y轴最近的对称轴方程是____________．

6??π??

解析：对于函数y＝2sin?2x－?，

6??ππkππ

令2x－＝kπ＋(k∈Z)得，x＝＋，

6223

ππ

因此，当k＝－1时，得到x＝－，故直线x＝－是与y轴最近的对称轴．

66π

答案：x＝－

6

7．在函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的一个周期上，当x＝有最小值－2，则ω＝________．

T2πππ

解析：依题意知＝－＝，

2362

π2π时，有最大值2，当x＝时，63