2021高考数学一轮复习统考选修4 - 5不等式选讲第1讲绝对值不等式课时作业（含解析）北师大版选修4 - 5

第1讲 绝对值不等式

课时作业

1．(2018·全国卷Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；

(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围． 解 (1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|， －2，x≤－1，??

即f(x)＝?2x，－1

??2，x≥1.

?1?

??. x|x>故不等式f(x)>1的解集为

2??

(2)当x∈(0,1)时|x＋1|－|ax－1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax－1|<1成立． 若a≤0，则当x∈(0,1)时，|ax－1|≥1，不符合题意； 22

若a>0，|ax－1|<1的解集为0

aa综上，a的取值范围为(0,2]．

2．(2019·汕头模拟)已知函数f(x)＝|2x＋k|＋|x－2|(k∈R)． (1)若k＝4，求不等式f(x)≥x－2x－4的解集；

(2)设k<－4，当x∈[－1,2]时都有f(x)≥x－2x＋4，求k的取值范围． 解 (1)因为k＝4，所以f(x)＝|2x＋4|＋|x－2|， －3x－2，x<－2，??

所以f(x)＝?x＋6，－2≤x≤2，

??3x＋2，x>2.

2

2

2

当x<－2时，由f(x)≥x－2x－4，得－3x－2≥x－2x－4，即x＋x－2≤0，－2≤x≤1，所以不等式无解；

当－2≤x≤2时，由f(x)≥x－2x－4，得x＋6≥x－2x－4，即x－3x－10≤0，－2≤x≤5，所以－2≤x≤2；

当x>2时，由f(x)≥x－2x－4，得3x＋2≥x－2x－4， 即x－5x－6≤0，－1≤x≤6，所以2

综上所述，不等式f(x)≥x－2x－4的解集为{x|－2≤x≤6}． (2)因为k<－4，所以－>2，

2

因为x∈[－1,2]，所以f(x)＝－3x＋2－k， 因为f(x)≥x－2x＋4在[－1,2]上恒成立，

2

2

2

2

2

2

2

2

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k所以－3x＋2－k≥x－2x＋4，即x＋x＋k＋2≤0在[－1,2]上恒成立． 令g(x)＝x＋x＋k＋2(x∈[－1,2])，

依题意可知，g(x)≤0恒成立，所以g(x)max＝g(2)≤0， 所以k≤－8.即k的取值范围为(－∞，－8]．

3．(2019·长春模拟)已知函数f(x)＝|2x＋4|＋|x－a|. (1)当a<－2时，f(x)的最小值为1，求实数a的值； (2)当f(x)＝|x＋a＋4|时，求x的取值范围． 解 (1)f(x)＝|2x＋4|＋|x－a| －3x＋a－4(x

＝?－x－a－4(a≤x≤－2)，??3x－a＋4(x>－2).

2

22

可知，当x＝－2时，f(x)取得最小值，最小值为f(－2)＝－a－2＝1，解得a＝－3. (2)f(x)＝|2x＋4|＋|x－a| ≥|(2x＋4)－(x－a)|＝|x＋a＋4|， 当且仅当(2x＋4)(x－a)≤0时，等号成立， 所以若f(x)＝|x＋a＋4|，则

当a<－2时，x的取值范围是{x|a≤x≤－2}； 当a＝－2时，x的取值范围是{x|x＝－2}； 当a>－2时，x的取值范围是{x|－2≤x≤a}． 4．(2019·大庆模拟)设函数f(x)＝|x－1|，x∈R. (1)求不等式f(x)≤3－f(x－1)的解集；

?3?(2)已知关于x的不等式f(x)≤f(x＋1)－|x－a|的解集为M，若?1，??M，求实数a的

?2?

取值范围．

解 (1)因为f(x)≤3－f(x－1)，

所以|x－1|≤3－|x－2|?|x－1|＋|x－2|≤3

??x<1，??

?3－2x≤3?

??1≤x≤2，

或?

?1≤3?

??x>2，

或?

?2x－3≤3，?

解得0≤x<1或1≤x≤2或2

?3??3?(2)因为?1，??M，所以当x∈?1，?时，f(x)≤f(x＋1)－|x－a|恒成立，

?2??2?

而f(x)≤f(x＋1)－|x－a|?|x－1|－|x|＋|x－a|≤0?|x－a|≤|x|－|x－1|，

?3?因为x∈?1，?，所以|x－a|≤1，即x－1≤a≤x＋1， ?2?

1?3?由题意，知x－1≤a≤x＋1对于任意的x∈?1，?恒成立，所以≤a≤2，故实数a的取2?2?

?1?值范围为?，2?.

?2?