本题主要考查几何体的切割问题以及等体积法的应用，还考查了转化化归的思想和空间想象，运算求解的能力，属于难题，
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．已知数列?an?满足a1?a31?，且an?n?1?n?1?n?2,n?N?.
222（1）求证：数列2an是等差数列，并求出数列?an?的通项公式；
n??（2）求数列?an?的前n项和Sn. 【答案】（1）证明见解析，an?【解析】 【分析】 （1）将等式an?nn2n?52n?1S?5?2. ；（）n2n2nan?11?n?1变形为2nan?2n?1an?1?2，进而可证明出?2nan?是等差数列，确定数列22nn?2a?的首项和公差，可求得2a【详解】 （1）因为an?的表达式，进而可得出数列?an?的通项公式；
（2）利用错位相减法可求得数列?an?的前n项和Sn.
an?11?n?1n?2,n?N?，所以2nan?2n?1an?1?2，即2nan?2n?1an?1?2， 22??n所以数列2an是等差数列，且公差d?2，其首项2a1?3
??所以2an?3?(n?1)?2?2n?1，解得an?（2）Sn?n2n?1； n23572n?12n?1?2?3?????n?1?n，① 22222Sn3572n?12n?1?2?3?4?????n?n?1，② 2222221?1?2???1?n?1?S31?2n?134?2?2n?1?5?2n?5?11①?②，得n??2??2?3?????n??n?1??， ?n?1n?112222222222??1?2所以Sn?5?【点睛】
本题考查利用递推公式证明等差数列，同时也考查了错位相减法求和，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
2n?5. n2x218．已知函数f?x??x ，
e（1）求函数f?x?的单调区间；
4x2（2）当0?m?2时，判断函数g?x??x?m，（x?0）有几个零点，并证明你的结论；
ee（3）设函数h?x??数c的取值范围．
1?11?12x??fx?x??fx?cx???为增函数，求实????，若函数h?x?在?0，?2?x2x??c??;2）;3）【答案】（1）单调增区间?0,2?,单调减区间为???,0?,?2,???（有2个零点，证明见解析（
【解析】 【分析】
1 32e?1?对函数f?x?求导,利用导数f'?x?的正负判断函数f?x?的单调区间即可;
x2?2?函数g(x)?x?m,(x?0)有2个零点.根据函数的零点存在性定理即可证明;
e1x2?3?记函数F(x)?f(x)?(x?)?x?x?1,x?0,求导后利用单调性求得F(1)?F(2)?0,由零点存在
xex性定理及单调性知存在唯一的x0?(1,2),使F(x0)?0，求得h?x?为分段函数,求导后分情况讨论：①当
x?x0时，利用函数的单调性将问题转化为2c?u?x?min的问题;②当0?x?x0时，当c?0时,h?(x)?0在(0,x0)上恒成立，从而求得c的取值范围. 【详解】
2x?ex?x2?exx(2?x)?（1）由题意知,f?(x)?，列表如下： x2x(e)ex f?(x) f(x) (??,0) 0 (0,2) ? 2 ?2,??? ? ? ? ? 0 0 极小值 ? 极大值 所以函数f?x?的单调增区间为?0,2?，单调减区间为???,0?,?2,???.
x2（2）函数g(x)?x?m,(x?0)有2个零点.证明如下：
e因为0?m?因为g'?x??44g(2)??m?0， 时，所以22eex?2?x?'g,所以?x??0在?0,2?恒成立,g(x)在?0,2?上单调递增， xe由g(2)?0，g(0)??m?0，且g(x)在?0,2?上单调递增且连续知, 函数g(x)在?0,2?上仅有一个零点，
由（1）可得x?0时,f?x??f?2??f?x?max，
x24即x?2?1，故x?0时，ex?x2， ee1616?me4)?m?m?m44所以g(memem2m4m16?e2?m4emm4m，
由e?x得ex24?，平方得em4m416g()?0， ?2，所以
mm因为g'?x??x?2?x?'g，所以?x??0在?2,???上恒成立, xe44?2, ,所以2me所以函数g(x)在?2,???上单调递减,因为0?m?由g(2)?0，g(4)?0，且g(x)在?2,???上单调递减且连续得 mg(x)在?2,???上仅有一个零点，
x2综上可知：函数g(x)?x?m,(x?0)有2个零点.
e1x21（3）记函数F(x)?f(x)?(x?)?x?x?,x?0，下面考察F(x)的符号．
xex求导得F?(x)?x(2?x)1?1?,x?0． x2ex当x?2时F?(x)?0恒成立．
x?(2?x)2]?1， 2x(2?x)11111?1???1??1?1????0． 所以F?(x)?exx2exx2x2x2当0?x?2时，因为x(2?x)?[∴F?(x)?0在(0,??)上恒成立，故F(x)在(0,??)上单调递减．
∵F(1)?143?0,F(2)?2??0，∴F(1)?F(2)?0，又因为F(x)在[1,2]上连续， ee2所以由函数的零点存在性定理得存在唯一的x0?(1,2)，使F(x0)?0， ∴x?(0,x0),F(x)?0;x?(x0,??),F(x)?0,
?12x??cx，0?x?x0?1?x 因为F?x??x??f?x?,所以h(x)??2x?x?cx2,x?x0??ex1?1??2cx，0?x?x02??x∴h?(x)??
?x(2?x)?2cx,x?x0??ex1x02??0, 因为函数h(x)在(0,??)上单调递增,F?x0??x0?x0ex0所以h(x)?0在(0,x0)，(x0,??)上恒成立．
?x(2?x)2?x(x,??)2c??2cx?0在上恒成立，即在(x0,??)上恒成立． 0xxee2?xx?3记u(x)?x,x?x0，则u?(x)?x,x?x0，
ee①当x?x0时，
当x变化时，u?(x)，u(x)变化情况如下表：
x u?(x) (x0,3) ? ? 3 0 (3,??) ? u(x) 极小值 ? 1， e311故2c?u(x)min??3，即c??3．
e2e1?②当0?x?x0时，h(x)?1?2?2cx，当c?0时，h?(x)?0在(0,x0)上恒成立．
x1综合（1）（2）知， 实数c的取值范围是c??3．
2e∴u(x)min?u(x)极小?u(3)??【点睛】
本题考查利用导数求函数的单调区间、极值、最值和利用零点存在性定理判断函数零点个数、利用分离参数法求参数的取值范围;考查转化与化归能力、逻辑推理能力、运算求解能力;通过构造函数F?x?,利用零点存在性定理判断其零点,从而求出函数h(x)的表达式是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.
相关推荐：
loading