[方法技巧] 1.应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分 步．在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么．选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复 或遗漏．2．(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计 数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．(2)分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最 后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数． 3．混合问题一般是先分类再分步．4．要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚， 便于探索规律．[易错防范] 1.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分 类还是需要分步进行．2．分类的关键在于做到“不重不漏”，分步的关键在于正确设 计分步的程序，即合理分类，准确分步． 3．确定题目中是否有特殊条件限制． 真题演练集训 1．[20xx·新课标全国卷Ⅱ]如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则 小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( ) A．24 B．18 C．12 D．9 答案：B 9 / 13 【本资料精心搜集整理而来，欢迎广大同仁惠存！】 解析：由题意可知E→F共有6种走法，F→G共有3种走法，由 分步乘法计数原理知，共有6×3＝18(种)走法，故选B.2．[20xx·新课标全国卷Ⅲ]定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01 数列”共有( ) A．18个 B．16个 C．14个 D．12个 答案：C 解析：由题意可得，a1＝0，a8＝1，a2，a3，…，a7中有3个0、3个1，且满足对任意k≤8，都有a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111,00010111,00011011,00011101,00100111,00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,010 10101，共14个．3．[20xx·四川卷]用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位 数，其中奇数的个数为( ) A．24 B．48 C．60 D．72 答案：D解析：由题意可知，个位可以从1,3,5中任选一个，有A种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有 A种方法，所以奇数的个数为AA＝3×4×3×2×1＝72，故选D.4．[20xx·四川卷]用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位 数，其中比40 000大的偶数共有( ) 10 / 13 【本资料精心搜集整理而来，欢迎广大同仁惠存！】 B．120个 D．72个 A．144个 C．96个 答案：B解析：当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2A个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有CA 个偶数．故符合条件的偶数共有2A＋CA＝120(个)． 课外拓展阅读 应用两个计数原理求解涂色问题 [典例] 如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的 染色方法总数为________．[审题视角] 染色问题是常见的计数应用问题，可从选颜色、选 顶点进行分类、分步，从不同角度解决问题．[解析] 解法一：可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法计数原理即可得出结论．由题设，四棱锥S－ABCD的顶点S，A，B所染的颜色互 不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法． 当S，A，B染好时，不妨设其颜色分别为1,2,3. 若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法； 若C染4，则D可染3或5，有2种染法； 若C染5，则D可染3或4，有2种染法．可见，当S，A，B已染好时，C，D还有7种染法，故不同的染色 方法有60×7＝420(种)． 解法二：以S，A，B，C，D顺序分步染色． 第一步，点S染色，有5种方法； 11 / 13 【本资料精心搜集整理而来，欢迎广大同仁惠存！】 第二步，点A染色，与S在同一条棱上，有4种方法； 第三步，点B染色，与S，A分别在同一条棱上，有3种方法；第四步，点C染色，也有3种方法，但考虑到点D与S，A，C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类：当A与C同色时，点D有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S，B也不同色，所以点C 有2种染色方法，点D也有2种染色方法． 所以不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(种)． 解法三：按所用颜色种数分类． 第一类，5种颜色全用，共有A种不同的方法；第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B与 D)，共有2×A种不同的方法；第三类，只用3种颜色，则A与C，B与D必定同色，共有A种不 同的方法． 由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为 A＋2×A＋A＝420(种)． [答案] 420 方法点睛 两个计数原理综合应用的常见题型与求解策略 题型组数问题 求解策略一般按特殊位置(如末位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的方法分步完成 一般有两种方案：(1)选择正确的涂色顺序，按步骤逐一涂涂色问题 色，这时用分步乘法计数原理进行计数；(2)根据涂色时所用颜色数的多少，进行分类处理，这时用分类加法计数原理进行计数 12 / 13 【本资料精心搜集整理而来，欢迎广大同仁惠存！】 简单的 选择问题 根据具体情况先合理分类，每类中再分步完成，要关注特殊元素 13 / 13 【本资料精心搜集整理而来，欢迎广大同仁惠存！】
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