中考数学专题复习 第四讲 因式分解
【基础知识回顾】 一、因式分解的定义：
1、把一个 式化为几个整式 的形式，叫做把一个多项式因式分解。 2、因式分解与整式乘法是 运算，即：多项式 整式的积
（ ） 【名师提醒：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是（ ） 否为 的形式。】 二、因式分解常用方法： 1、提公因式法：
公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。 提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。
【名师提醒：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是 ，都遵循一个原则：取系数的 ，相同字母的 。2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为 ，不能漏掉。3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要 。】 2、运用公式法：
将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。 ①平方差公式：a2-b2= , ②完全平方公式：a2±2ab+b2= 。
【名师提醒：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，找准里面的a
1与b。如：x-x+
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符合完全平方公式形式，而x2- x+
1就不符合该公式的形式。】 2三、因式分解的一般步骤
1．一提：如果多项式的各项有公因式，那么要先 。
2．二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用 法来分解。 3． 三查：分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止。
【名师提醒：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两步，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】 【重点考点例析】
考点一：因式分解的概念
例1 （2015?临沂）多项式mx2-m与多项式x2-2x+1的公因式是（ ） A．x-1 B．x+1 C．x2-1 D．（x-1）2 思路分析：分别将多项式mx2-m与多项式x2-2x+1进行因式分解，再寻找它们的公因式．
解：mx2-m=m（x-1）（x+1）， x2-2x+1=（x-1）2，
多项式mx2-m与多项式x2-2x+1的公因式是（x-1）． 故选：A．
点评：本题主要考查公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后
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再确定公共因式． 跟踪训练
1．（2015?海南）下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ） A．a2+4a-21=a（a+4）-21 B．a2+4a-21=（a-3）（a+7） C．（a-3）（a+7）=a2+4a-21 D．a2+4a-21=（a+2）2-25 考点二：因式分解——提公因式法和公式法
例2 （2015?济南）分解因式：xy+x= ． 思路分析：直接提取公因式x，进而分解因式得出即可． 解：xy+x=x（y+1）． 故答案为：x（y+1）．
点评：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 例3 （2015?岳阳）分解因式：x2-9= ．
思路分析：本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式． 解：x2-9=（x+3）（x-3）． 故答案为：（x+3）（x-3）．
点评：主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．
例4（2015?菏泽）把代数式ax2-4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（ ）
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A．a（x-2） B．a（x+2） C．a（x-4） D．a（x+2）（x-2） 思路分析：先提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可． 解：ax2-4ax+4a =a（x2-4x+4） =a（x-2）2． 故选：A．
点评：本题先提取公因式，再利用完全平方公式分解，分解因式时一定要分解彻底．
例5 （2015?潍坊）因式分解：ax2-7ax+6a= ． 思路分析：原式提取a，再利用十字相乘法分解即可． 解：原式=a（x2-7x+6）=a（x-1）（x-6）， 故答案为：a（x-1）（x-6）
点评：此题考查了因式分解-十字相乘法，以及提取公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 跟踪训练 2．（2015?龙岩）分解因式：a2+2a= ． 3．（2015?新疆）分解因式：a2-4b2= ．
4．（2015?贺州）把多项式4x2y-4xy2-x3分解因式的结果是（ ） A．4xy（x-y）-x3 B．-x（x-2y）2 C．x（4xy-4y2-x2） D．-x（-4xy+4y2+x2） 5．（2015?菏泽）若x2+x+m=（x-3）（x+n）对x恒成立，则n= ． 第 2 页（ 共 6 页）
考点三：因式分解的应用
例6 （2015?重庆）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是6，4，7，4，6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6，4，7，4，6，所以64746是“和谐数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”． （1）请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位数“和谐数”能否被11整除，并说明理由； （2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x（1≤x≤4，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式． 思路分析：（1）根据“和谐数”写出四个四位数的“和谐数”；设任意四位数“和谐数”形式为：abba（a、b为自然数），则这个四位数为a×103+b×102+b×10+a=1001a+110b，利用整数的整除得到1001a?110b ?91a?10b，由此可判断任意四位数“和谐数”都可以被11整除； 11（2）设能被11整除的三位“和谐数”为：xyx，则这个三位数为x?102+y?10+x=101x+10y，由于 101x?10y2x?y?9x?y?，根据整数的整除性得1111到2x-y=0，于是可得y与x的关系式． 解：（1）四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666； 任意一个四位“和谐数”都能被11整数，理由如下： 设任意四位数“和谐数”形式为：abba（a、b为自然数）， 则a×103+b×102+b×10+a=1001a+110b， ∵ 1001a?110b?91a?10b， 11∴四位数“和谐数”abba能被11整数； ∴任意四位数“和谐数”都可以被11整除， （2）设能被11整除的三位“和谐数”为：xyx，则x?102+y?10+x=101x+10y， 101x?10y2x?y ?9x?y?， 1111∵1≤x≤4，101x+10y能被11整除， ∴2x-y=0， ∴y=2x（1≤x≤4）． 点评：本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．灵活利用整数的整除性． 跟踪训练 6．（2015?枣庄）如图，边长为a，b的矩形的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为（ ） 第 3 页（ 共 6 页）
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