概率与数理统计典型例题

《概率与数理统计》

第一章 随机事件与概率

典型例题

一、利用概率的性质、事件间的关系和运算律进行求解

1.设A,B,C为三个事件，且P(A?B)?0.9,P(A?B?C)?0.97，则

P(A?B)?C____ _12.设A,B为两个任意事件，证明：|P(AB)?P(A)P(B)|?.

4二、古典概型与几何概型的概率计算 1.袋中有a个红球，b个白球，现从袋中每次任取一球，取后不放回，试求第k次

a取到红球的概率.（）

a?b2.从数字1,2,?,9中可重复地任取n次，试求所取的n个数的乘积能被10整除的

5n?8n?4n概率.（1?）

9n3.50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太

1959弱，从而成为不合格品，试求10个部件都是合格品的概率.（）

19604.掷n颗骰子，求出现最大的点数为5的概率.

5.（配对问题）某人写了n封信给不同的n个人，并在n个信封上写好了各人的地址，现在每个信封里随意地塞进一封信，试求至少有一封信放对了信封的概率. （?(?1)kk?0n1） k!6.在线段AD上任取两点B,C，在B,C处折断而得三条线段，求“这三条线段能构成三角形”的概率.（0.25）

7.从(0,1)中任取两个数，试求这两个数之和小于1，且其积小于

13（?ln3） 416三、事件独立性

3，试求P(A). 162.甲、乙两人轮流投篮，甲先投，且甲每轮只投一次，而乙每轮可投两次，先投

3的概率. 161.设事件A与B独立，且两个事件仅发生一个的概率都是

1中者为胜.已知甲、乙每次投篮的命中率分别为p和.（1）求甲取胜的概率；

3（2）p求何值时，甲、乙两人的胜负概率相同？（

9p5;p?） 5?4p14四、条件概率与积事件概率的计算

1.已知10件产品中有2件次品，现从中取产品两次，每次取一件，去后不放回，求下列事件的概率：（1）两次均取到正品；（2）在第一次取到正品的条件下第二次取到正品；（3）第二次取到正品；（4）两次中恰有一次取到正品；（5）两次中

28741644至少有一次取到正品.（;;;;）

459545452.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的数字不再重复，试求下列事件的概率：（1）拨号不超过3次而接通电话；（2）第3次拨号才接通电话.（0.3；0.1） 五、全概率公式和贝叶斯公式概型

1.假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件为一等品；第二箱内装30件，其中18件为一等品，现从两箱中随意挑选出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），试求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品

2690的概率.（;）

514212.有100个零件，其中90个一等品，10个二等品，随机地取2个,安装在一台设备上，若2个零件中有i个（i?0,1,2）二等品，则该设备的使用寿命服从参数为??i?1的指数分布，试求：（1）设备寿命超过1的概率；（2）若已知该设备寿命超过1，则安装在设备上的2个零件均是一等品的概率.

89?12?21?389e?1e?e?e;（） ?1?2?31101111089e?20e?e六、伯努利试验

1.甲袋中9个白球与1个黑球，乙袋中有10个白球，每次从甲、乙两袋中随机地取一球交换放入另一袋中，这样做了3次，试求黑球仍在甲袋中的概率.（0.756） 2.假设一厂家生产的每台仪器以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂，现该厂新生产了n台仪器（假设生产过程相互独立），求恰好有k台能出厂的概率.

k（Cn(0.94)k(0.06)n?k）

综合题

1.某段时间[t0,t0?t](t?0)内，证券交易所来了k个股民的概率为

(?t)k??te,k?0,1,2,?,??0，每个来到交易所的股民购买长虹股票的概率为p，k!且各股民是否购买这种股票相互独立.（1）求此段时间内，交易所共有r个股民

购买长虹股票的概率；（2）若已知这段时间内，交易所共有r个股民购买了长虹股票，求交易所内来了m个股民的概率.

?[?t(1?p)]m?r??t(1?p)e,m?r(?tp)??tp?e;?(m?r)!（） r!?0,m?r?r2.三架飞机（一架长机，两架僚机）一同飞往某目的地进行轰炸，但要到达目的地需要无线电导航，而只有长机有这种设备。到达目的地之前，必须经过敌方的高射炮阵地上空，这时任一飞机被击落的概率都是0.2，到达目的地之后，各飞机将独立地进行轰炸，炸毁目标的概率都是0.3，求目标被炸毁的概率.（0.477） 3.设有三箱同型号产品，分别装有合格品20件、12件和15件；不合格品为5件、4件和5件，现任意打开一箱，并从箱内任取一件进行检验，由于检验误差，每件合格品被误验为不合格品的概率为0.04，每件不合格品被误验为合格品的概率为0.04，试求；（1）取到的一件产品经检验定为合格品的概率；（2）若已知取到的一件产品被检验定为合格品，则它确实是合格品的概率.

23?0.9623730（?0.96??0.4;） 30300.745

第二章 随机变量及其分布

典型例题

一、有关随机变量与分布的基本概念

设F(x)为连续型随机变量的分布函数，而且F(0)?0，证明：

??1?F(x)?F,x?1??? G(x)???x??0,x?1?是分布函数.

二、求随机变量的分布律与分布函数

x??1?0,?0.4,?1?x?1?1.设随机变量X的分布函数为F(x)??，试求X的分布律.

?0.8,1?x?3?x?3?1,2.同时掷两枚骰子，观察它们出现的点数，求两枚骰子出现的最大点数X的分

布律.

3.向直线上掷随机点，已知随机点落入H1?(??,0],H2?(0,1],H3?(1,??)的概率分别等于0.2、0.5、0.3，并且随机点在(0,1]上服从均匀分布，假定随机点落入区间(??,0]得0分，落在区间(0,1]的x点得x分，落在区间(1,??)内得1分，以

X表示得分，试求X的分布律.

1?2x,0?x??2?1??x?1?1,4.设连续型随机变量X的密度为f(x)??，试求X的分布函数. 2?3?3?2x,1?x?2??其他?0,三、已知事件发生的概率，求事件中的未知参数

?32?x,0?x?21.设随机变量X,Y同分布，X的概率密度为f(x)??8，已知事件

?其他?0,A??X?a?,B??Y?a?独立，且P(A?B)?3，试求常数a. 42.设离散型随机变量X的概率分布为P{X?n}?apn,(n?0,1,2,?)，而且X取奇

3数值的概率为，试求常数a,p的值.

7四、利用常见分布求相关事件的概率（主要参看教材）

假设某科统考的成绩X近似服从正态分布N(70,102)，已知第100名的成绩为60，问第20名的成绩为多少？ 五、求随机变量函数的分布

??1?1.已知随机变量X的分布律为：P{X?n}???,(n?1,2,?)，求Y?sinX的

2?2?分布律.

?e?x,x?12.设X的密度函数为fX(x)??，试求Y?eX的概率密度fY(y).

?0,x?1n3.已知随机变量X的概率密度fX(x)，求随机变量Y?min{X,X2}的概率密度

fY(y).