[课时作业] [A组 基础巩固]
1．下列函数存在极值的是( ) 1
A．f(x)＝
x
C．f(x)＝x3＋x2＋2x－3
B．f(x)＝x－ex D．f(x)＝x3
1
解析：A中f′(x)＝－2，令f′(x)＝0无解，且f(x)的图象为双曲线．∴A中函数无极值．B
x中f′(x)＝1－ex，令f′(x)＝0可得x＝0.当x<0时，f′(x)>0，当x>0时，f′(x)<0.∴y＝f(x)在x＝0处取极大值，f(0)＝－1.C中f′(x)＝3x2＋2x＋2，Δ＝4－24＝－20<0.∴y＝f(x)无极值．D也无极值．故选B.
答案：B
2.如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，下列说法错误的是( ) A．－2是函数y＝f(x)的极小值点 B．1是函数y＝f(x)的极值点
C．y＝f(x)在x＝0处切线的斜率大于零 D．y＝f(x)在区间(－2,2)上单调递增
解析：f′(1)＝0，但在1的相邻的左右两侧的导函数值同号，故1不是f(x)的极值点，故选B.
答案：B
11
3．函数f(x)＝－x3＋x2＋2x取极小值时，x的值是( )
32A．2 C．－1
B．2，－1 D．－3
解析：f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x＋1)(x－2)，则知在区间(－∞，－1)和(2，＋∞)上，f′(x)<0，在区间
(－1,2)上f′(x)>0，故当x＝－1时，f(x)取极小值． 答案：C
4．若x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则有( ) A．a＝－2，b＝4 C．a＝1，b＝3
B．a＝－3，b＝－24 D．a＝2，b＝－4
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意有x＝－2和x＝4是方程3x2＋2ax＋b＝0的两个根，
1
2ab
所以有－＝－2＋4，＝－2×4，解得a＝－3，b＝－24.
33
答案：B
5．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数图象如图所示，则函数f(x)的极小值是( )
A．a＋b＋c C．3a＋2b
B．8a＋4b＋c D．c
解析：由函数导函数的图象可知，函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0,2)上单调递增，∴函数f(x)在x＝0时取得极小值c.
答案：D
6．已知函数f(x)＝x3＋ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是________． 解析：f′(x)＝3x2＋a， 令f′(x)＝0，∴a＝－3x2， ∴a＜0时，存在两个极值点． 答案：a＜0
7．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围为________． 解析：∵y＝ex＋ax， ∴y′＝ex＋a，
由于y＝ex＋ax有大于零的极值点，即方程ex＋a＝0有大于零的解． 即a＝－ex(x>0)，∵当x>0时，－ex<－1， ∴a<－1.
答案：(－∞，－1)
8．已知函数f(x)＝x3－3x的图象与直线y＝a有相异三个公共点，则a的取值范围是________．
解析：令f′(x)＝3x2－3＝0得x＝±1，可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，y＝f (x)的大致图象如图，
观察图象得－2 2 9．求下列函数的极值． (1)f(x)＝x4－2x2； (2)f(x)＝x2ex. － 解析：(1)函数f(x)的定义域为R. f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)． 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－1或x＝1. 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x f′(x) f(x) (－∞，－1) － －1 0 极小值 (－1,0) ＋ 0 0 极大值 (0,1) － 1 0 极小值 (1，＋∞) ＋ 从表中可以看出： 当x＝0时，函数有极大值，且f(0)＝0； 当x＝－1或x＝1时，函数有极小值， 且f(－1)＝f(1)＝－1. (2)函数的定义域为R. ?x2?′ex－?ex?′x2x2 f′(x)＝(x)′＝ e?ex?2＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x＝－e－x·x(x－2)． 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2. 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x f′(x) f(x) 由上表可以看出： 当x＝0时，函数有极小值，且f(0)＝0； 4 当x＝2时，函数有极大值，且f(2)＝2. e 10．已知函数f(x)＝x3－3ax2＋2bx在点x＝1处的极小值为－1，试确定a，b的值，并 (－∞，0) － 0 0 极小值 (0,2) ＋ 2 0 极大值 (2，＋∞) － 3 f(x)的单调区间． 解析：由已知f′(x)＝3x2－6ax＋2b， ∴f′(1)＝3－6a＋2b＝0，① 又∵f(1)＝1－3a＋2b＝－1，② 由①②解得a＝13，b＝－1 2， ∴f(x)＝x3－x2－x， 由此得f′(x)＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)， 令f′(x)>0，得x<－1 3或x>1， 令f′(x)<0，得－1 3 ∴f(x)在x＝1的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0， 即f(x)在x＝1处取得极小值， 故a＝13，b＝－1 2，且f(x)＝x3－x2－x， 它的单调增区间是(－∞，－1 3)和(1，＋∞)， 它的单调减区间是(－1 3 ，1)． [B组 能力提升] 1．如图所示的是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x21＋x2 2等于( A.23 B.43 C.83 D.169 ?－1＋b－c＋d＝0解析：由图象可得：? ?d＝0 ??8＋4b＋2c＋d＝0 ?b＝－1 ???c＝－2 ， ??d＝0 所以f′(x)＝3x2－2x－2， ) 4 求
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