2017-2018学年数学人教A版选修2-2优化练习：第一章1.31.3.2函数的极值与导数Word版含解析

由题意可得：x1，x2是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的两个极值点，故x1，x2是方程f′(x)＝0的根，

221622

所以x1＋x2＝，x1x2＝－，则x2＋x＝(x＋x)－2xx＝. 121212

339答案：D

2．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则( ) A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值 B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值 C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值 D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值

解析：①当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，此时f′(x)＝ex(x－1)＋(ex－1)＝ex·x－1，且f′(1)＝e－1≠0，∴A，B项均错；②当k＝2时，f(x)＝(ex－1)·(x－1)2，此时f′(x)＝ex(x－1)2＋(2x－2)(ex－1)＝ex·x2－2x－ex＋2＝ex(x＋1)(x－1)－2(x－1)＝(x－1)[ex(x＋1)－2]，易知g(x)＝ex(x＋1)－2的零点介于0,1之间，不妨设为x0，则有

x f′(x) f(x) (－∞，x0) ＋ x0 0 极大值 (x0,1) － 1 0 极小值 (1，＋∞) ＋ 故f(x)在x＝1处取得极小值． 答案：C

3．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝________，b＝________.

解析：y′＝3x2＋2ax＋b，方程y′＝0有根－1及3， 由根与系数的关系应有

?

?b?－3＝3

2a

－1＋3＝－

3

??a＝－3，∴?.

?b＝－9?

答案：－3 －9

4．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(b，c，d为常数)，当k∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，f(x)－k＝0只有一个实根；当k∈(0,4)时，f(x)－k＝0有3个相异实根，现给出下列四个命题：

①f(x)－4＝0和f′(x)＝0有一个相同的实根；

5

②f(x)＝0和f′(x)＝0有一个相同的实根；

③f(x)－3＝0的任一实根大于f(x)－1＝0的任一实根； ④f(x)＋5＝0的任一实根小于f(x)－2＝0的任一实根． 其中正确命题的序号是________．

解析：由题意y＝f(x)图象应为先增后减再增，极大值为4，极小值为0，f(x)－k＝0的根的问题可转化为f(x)＝k，即y＝k和y＝f(x)图象交点个数问题．根据图象可知答案为：①②④.

答案：①②④

1

5．设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－对

2称，且f′(1)＝0.

(1)求实数a，b的值； (2)求函数f(x)的极值．

解析：(1)因为f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1， 故f′(x)＝6x2＋2ax＋b.

aaa

x＋?2＋b－，即y＝f′(x)关于直线x＝－对称，从而f′(x)＝6?从而由题设条件知－?6?66a1

＝－，解得a＝3. 62

又由于f′(1)＝0，即6＋2a＋b＝0，解得b＝－12. (2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1， f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)． 令f′(x)＝0，即6(x－1)(x＋2)＝0， 解得x1＝－2，x2＝1.

当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数； 当x∈(－2,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(－2,1)上为减函数；

2

6

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．

从而函数f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝21，在x2＝1处取得极小值f(1)＝－6. 1

6．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋a(a为常数)，直线l与函数f(x)， g(x)的图象都相切，

2且l与函数f(x)图象的切点的横坐标为1.

(1)求直线l的方程及a的值；

(2)当k>0时，试讨论方程f(1＋x2)－g(x)＝k的解的个数．

解析：(1)由直线l与函数f(x)图象的切点的横坐标为1，得f′(1)＝1，即直线l的斜率为1，则切点为(1，f(1))，即(1,0)，

∴直线l的方程为y＝x－1.① ∵g′(x)＝x，且切线l的斜率为1， 1

1，＋a?， ∴切点为??2?

1?1

＋a＝x－1，即y＝x－＋a.② 则直线l：y－??2?211

由①②可得－＋a＝－1，∴a＝－. 22(2)∵f(1＋x2)－g(x)＝k， 11

即ln(1＋x2)－x2＋＝k.

22

11

设y1＝ln(1＋x2)－x2＋，y2＝k，

22x?1－x??x＋1?

则y1′＝－x＝.

1＋x21＋x2

2x

令y1′＝0，得x1＝0，x2＝1，x3＝－1，当x变化时，y1′，y1的变化情况，列表如下： x y1′ y1 函数y1的大致图象如图： (－∞，－1) ＋ －1 0 极大值ln 2 (－1,0) － 0 0 1极小值 2(0,1) ＋ 1 0 极大值ln 2 (1，＋∞) － 7

方程y1＝y2，

①当0

2时，有2个解；

②当k＝1

2时，有3个解；

③当1

2

④当k＝ln 2时，有2个解； ⑤当k>ln 2时，没有解． 8