一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．在四边形ABCD中，?B??D?180?，对角线AC平分?BAD.
（1）如图1，若?DAB?120?，且?B?90?，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由.
（2）如图2，若将（1）中的条件“?B?90?”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由.
（3）如图3，若?DAB?90?，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由.
【答案】（1）AC?AD?AB.证明见解析；（2）成立；（3）AD?AB?见解析. 【解析】
试题分析：（1）结论：AC=AD+AB，只要证明AD=
2AC.理由
11AC，AB=AC即可解决问题； 22（2）（1）中的结论成立．以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，只要证明△DAC≌△BEC即可解决问题；
（3）结论：AD+AB＝2AC．过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，只要证明△ACE是等腰直角三角形，△DAC≌△BEC即可解决问题； 试题解析：解：（1）AC=AD+AB． 理由如下：如图1中，
在四边形ABCD中，∠D+∠B=180°，∠B=90°， ∴∠D=90°，
∵∠DAB=120°，AC平分∠DAB， ∴∠DAC=∠BAC=60°， ∵∠B=90°，
11AC，同理AD＝AC． 22∴AC=AD+AB．
∴AB＝
（2）（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，
∵∠BAC=60°， ∴△AEC为等边三角形， ∴AC=AE=CE，
∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=120°， ∴∠DCB=60°， ∴∠DCA=∠BCE，
∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°， ∴∠D=∠CBE，∵CA=CE， ∴△DAC≌△BEC， ∴AD=BE， ∴AC=AD+AB．
（3）结论：AD+AB＝2AC．理由如下：
过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=90°，
∴DCB=90°， ∵∠ACE=90°， ∴∠DCA=∠BCE， 又∵AC平分∠DAB， ∴∠CAB=45°， ∴∠E=45°． ∴AC=CE．
又∵∠D+∠ABC=180°，∠D=∠CBE，
∴△CDA≌△CBE， ∴AD=BE， ∴AD+AB=AE．
在Rt△ACE中，∠CAB=45°， ∴AE＝
AC＝2AC cos45?∴AD?AB＝2AC.
2．如果两个三角形的两条边对应相等，夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形，如图2，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE和ACGF，则图中的两个三角形就是互补三角形．
（1）用尺规将图1中的△ABC分割成两个互补三角形； （2）证明图2中的△ABC分割成两个互补三角形；
（3）如图3，在图2的基础上再以BC为边向外作正方形BCHI．
①已知三个正方形面积分别是17、13、10，在如图4的网格中（网格中每个小正方形的边长为1）画出边长为
、
、
的三角形，并计算图3中六边形DEFGHI的面积．
②若△ABC的面积为2，求以EF、DI、HG的长为边的三角形面积．
【答案】（1）作图见解析（2）证明见解析（3）①62；②6 【解析】
试题分析：（1）作BC边上的中线AD即可． （2）根据互补三角形的定义证明即可． （3）①画出图形后，利用割补法求面积即可．
②平移△CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，只要证明S△EFM=3S△ABC即可． 试题解析：（1）如图1中，作BC边上的中线AD，△ABD和△ADC是互补三角形．
相关推荐：
loading