正交多项式的性质及在科学计算中的应用

正交多项式的性质及在科学计算中的应用

摘要

正交多项式是满足一定条件的多项式族。正交多项式是数学研究领域热点之一。许多数学理论的突破，如Bieberbach猜想的证明，数据拟合，数学物理、工程技术和函数逼近等领域的理论研究，都依赖于或应用了正交多项式的重要成果。现正交多项式被广泛应用于数学物理，工程技术，科学计算，回归分析，概率分布等领域。因此，对于正交多项式的研究具有重要的意义和价值。

本文首先给出了正交多项式的定义，其次对勒让德（Legendre）多项式、切比雪夫（Chebyshev）多项式、拉盖尔(Laguerre)多项式、艾尔米特（Hermite）多项式的性质进行了探讨并对部分性质进行了证明，最后对正交多项式在数据拟合，最佳平方逼近以及在概率分析中的应用进行了讨论。

关键词：正交多项式 勒让德（Legendre）多项式 切比雪夫（Chebyshev）多项式 拉盖尔(Laguerre)多项式 艾尔米特（Hermite）多项式 数据拟合 最佳平方逼近 概率分析

I

The Character of Orthogonal Plynomial and its Application

in Scientific Computation

Abstract

Orthogonal polynomial is a polynomial that satisfies some conditions.Orthogonal polynomial is one of the hotspot in the field of mathematical research.Many mathematical theory, such as proof of the conjecture of Bieberbach, data fitting, mathematical physics, theory of engineering technology and function approximation are depends on the important achievements in the field or the application of orthogonal polynomials.Now the orthogonal polynomial is widely used in mathematical physics, engineering, scientific computing, regression analysis, probability distribution etc.Therefore, research orthogonal polynomials having great significance and value.

Firstly, this paper gives the definition of orthogonal polynomials,.Moreover, it discusses on the Legendre polynomials, Chebyshev polynomials, Laguerre polynomials, Hermite polynomial and proves some properties .Lastly, the orthogonal polynomial in data fitting, the best square approach and application in probability are discussed in this paper.

Keywords: orthogonal polynomial, Legendre polynomials, Chebyshev polynomials, Laguerre polynomials, Hermite polynomial,data fitting,The best square approximation, probabilistic analysis

II

目录

前言................................................................ 1 第1章 正交多项式.................................................. 2

1.1 积分型正交多项式的定义和性质： ............................. 2 1.2 正交多项式的构造： ......................................... 3

1.2.1 生成的集合............................................ 3 1.2.2 施密特正交化.......................................... 3 1.3 正交多项式的性质： ......................................... 4 第2章 常用的正交多项式............................................ 6

2.1 勒让德（Legendre）多项式 ................................... 6

2.1.1 首项系数.............................................. 6 2.1.2 性质.................................................. 7 2.1.3 Legendre微分方程 ..................................... 8 2.2 切比雪夫（Chebyshev）多项式 ................................ 9

2.2.1 第一类切比雪夫（Chebyshev）多项式..................... 9 2.2.2 第二类切比雪夫（Chebyshev）多项式.................... 12 2.3 拉盖尔(Laguerre)多项式 .................................... 13

2.3.1 定义：............................................... 13 2.3.2 拉盖尔多项式的性质................................... 14 2.3.3 拉盖尔微分方程....................................... 15 2.4 艾尔米特（Hermite）多项式 ................................. 15

2.4.1 定义................................................. 15 2.4.2 性质................................................. 15 2.4.3 Hermite微分方程 ..................................... 16

第3章 正交多项式在科学计算中的应用............................... 17

3.1 正交多项式在数据拟合中的应用 .............................. 17

3.1.1 正交多项式最小二乘法拟合原理......................... 17

III

3.2 正交多项式在最佳平方逼近中的应用 .......................... 23

3.2.1 最佳平方逼近......................................... 23 3.2.2 正交多项式的最佳平方逼近............................. 25 3.2.3 最佳平方逼近的MATLAB实现............................ 28 3.3 正交多项式在概率分析中的应用 .............................. 29

3.3.1 矩与概率分布的关系................................... 29 3.3.2 极限状态函数的矩..................................... 30 3.3.3 极限状态函数的概率密度函数的正交多项式逼近........... 30 3.3.4 计算失效概率......................................... 31

参考文献........................................................... 33

IV