正交多项式的性质及在科学计算中的应用

2.2、切比雪夫（Chebyshev）多项式

2.2.1、第一类切比雪夫（Chebyshev）多项式

（1）定义[3]：

当区间为[?1,1],权函数?(x)?11?x2时，由序列1,x,?,xn,?正交化得到的

??正交多项式就是第一类切比雪夫（Chebyshev）多项式。它可表示为

Tn(x)?cos(narccosx),x?1. （2-2-1） 若令x?cos?,当x在[?1,1]上变化时，对应的?在[0,?]上变化，其可改写成 Tn(x)?conxs, 0????. 具体表达式为

T0(x)?cos0?1T1(x)?cos??xT2(x)?cos2??2cos2??1?2x2?1 T3(x)?cos3??4x3?3xT4(x)?cos4??8x4?8x2?1??Tn(x)?nk(n?k?1)!(?1)(2x)n?2k?2k?0k!(n?2k)!n[]2

Tn(x)是首项系数为2n?1的n次多项式。

（2） 性质

性质1 递推关系

Tn?1(x)?2xTn(x)?Tn?1(x) (n?1,2,?) 这主要由三角恒等式

n(?1)??2co?scons??cosn(?1)? (n?1) cos令x?cos?，既得。

性质2 Tn(x)对零的偏差最小。即在区间[?1,1]上所有最高项系数为1的一切n次多项式中，?n(x)?11T(x). 与零的偏差最小，其偏差为n?1nn?1221T(x)?xn?Pn?1(x)n?1n2证：由于

11max?n(x)?n?1maxTn(x)?n?1?1?x?12?1?x?12?n(x)?且点xk?cosk? (k?0,1,?,n)是Tn(x)的切比雪夫交错点，区间[?1,1]上xnn在Hn?1中最佳逼近多项式为Pn?1(x),即?(x)是与零的偏差最小的多项式。

证毕。

性质3 Tn(x)的首项xn的系数为2n?1 (n?1,2,?,n) 性质4 Tn(x)在[?1,1]上有n?1个不同的点

k???cos,(k?0,1,2,?,n) xkn?}称为交错点组。 轮流取得最大值1和最小值-1，{xk

定理[3]：

~ 设Tn(x)是首项系数为1的切比雪夫多项式，则

~~Tn(x)?maxP(x),?P(x)?Hn, （2-2-2） max?1?x?1?1?x?1且

1~Tn(x)?n?1. max?1?x?12~~定理表明在所有首项系数为1的n次多项式集合Hn中，Tn??minP(x)?,p?Hn~~所以Tn(x)是Hn中最大值最小的多项式，即

1~Tn(x)?minmaxp(x)?n?1. maxp?Hn?1?x?1?1?x?12

： 【例2?1】 求f(x)?2x3?x2?2x?1在[?1,1]上的最佳2次逼近多项式。 解：最佳逼近多项式p(x)应满足

. maxf(x)?p(x)?min?1?x?111由上述定理知，当(f(x)?p(x))?2T3(x)

2213即 当f(x)?P(x)?T3(x)?2x3?x时，与零偏差最小，故

2217 p(x)?f(x)?T3(x)?x2?x?1

22就是f(x)在[?1,1]上的最佳2次逼近多项式。

【注】：由于切比雪夫多项式是在区间[?1,1]上定义的，对于一般区间[a,b]，

要通过变量替换变换到[?1,1]，可令

1 x?[(b?a)t?a?b],

2则可将x?[a,b]变换到t?[?1,1].

性质5 切比雪夫多项式{Tk(x)}在区间[?1,1]上带权?(x)?11?x2正交，且

?0,n?m;1T(x)T(x)??nmdx?, n?m?0; （2-2-3） ???11?x22?n?m?0.??,令x?cos?,则dx??sin?d?,于是

?0,n?m;1T(x)T(x)dx???m ?n??cons?coms?d???, n?m?0;

?101?x2?2n?m?0.??,性质6 T2k(x)只含x的偶次幂，T2k?1(x)只含x的奇次幂。 性质7 Tn(x)在区间[?1,1]上有n个零点

2k?1?,k?1,?,n. （2-2-4） xk?cos2n

xn可用T0,T1,?,Tn的线性组合表示，其公式为

x?2n1?n?n????k??Tn?2k(x). k?0??n[]2其具体的表达式为

1?T0x?T11x2?(T0?T2)2 x3?1(3T1?T3)

41x4?(3T0?4T2?T4)81x5?(10T1?5T3?T5)16

（3） 第一类chebyshev微分方程

(1?x2)y???xy??n2y?0,n?N,

T0(x)?1,T1(x)?x,T2(x)?2x2?1,

T3(x)?4x3?3x,T4(x)?8x?8x?1,T5(x)?16x5?20x3?5x,T6(x)?32x6?48x4?18x2?1,??

4

2

2.2.2、第二类切比雪夫（Chebyshev）多项式

（1） 定义[3]：

在区间[?1,1]上带权?(x)?1?x2的正交多项式称为第二类切比雪夫多项式，其表达式为