end C=A\\B; fp0=0; for i=1;n+1
Fp0=fp0+C(i)*x^(i-1); end fp0;
ffp0=sym2poly(fp0) E0=int((f-fp0)^2*W,x,a,b); s=double(E0) t=[a:(b-a)/20:b]; z=subs(f,x,a:(b-a)/20:b); zz=subs(fp0,x,a:(b-a)/20:b); plot(t,z,’b’) hold on plot(t,zz,’*’)
3.3正交多项式在概率分析中的应用[12,13]
3.3.1、矩与概率分布的关系
定理：假设矩?1,?2,??r(r?3),存在，并且对于v?1对概率分布的特征函数
?有?v可积，那么，由特征函数?泰勒展开的有限项经傅里叶逆变换得到的fn对于n?v存在，且当n??时关于x一致地有
fn(x)??(x)(1??nk?3rk??12r??12Pk(x))?0(n) （3-3-1）
此处?(x)为正态分布，Pk(x)为一个只依赖于矩?1,?2,??r而不依赖于n和r的实多项式。
此定理表明：概率密度函数f(x)可用高阶矩的展开式逼近，而且展开式为正态分布乘一修正系数，所以，f(x)可以展开为带权?(x)的多项式。
Pk(x)的前两项为
?3?32?4?3?4H3(x), P4(x)? P3(x)?H3(x)?H4(x) （3-3-2） 3646?72?24?其中，Hk(x)为艾尔米特正交多项式。
3.3.2、极限状态函数的矩
已知极限状态函数为Z?g(X)?g(x1,x2,?xn),随机向量X的概率密度函数为f(X)，则Z的各阶原点矩为
Mk(g)??(g(X))kf(X)dX k?1,2,?,N （3-3-3）
????将极限状态标准化，采用Y?z??z?z?g(X)?M1(g)M2(g)?M1(g)2作为新的极限状态函
数，则其各阶原点矩与中心距相同，
?k(Y)??Ykf(X)dX k?1,2,?,N
????这里的?3为偏度系数，?4为峰度系数。
如果f(X)为某些特定的分布类型，可将其视为权函数，采用相应类型的高斯积分点，效率和精度较高。正如正态分布、指数分布、均匀分布，权函数类型为e?x,e?x,1，可分别选择相应的高斯积分点。
3.3.3、极限状态函数的概率密度函数的正交多项式逼近
设权函数为?(x)，相应区间[a,b]上的正交多项式为
?k(x)??Akmxm,k?0,1,2,? (3-3-4)
m?0k2式中Akm为确定常数。由正交多项式性质，有
?ba?hi,i?j, (3-3-5) ?(x)?i(x)?j(x)dx?? i?j.0,?用带权的正交多项式逼近极限状态函数的概率密度函数f(x)，函数为
N f(x)??(x)?ak?k(x) (3-3-6)
k?0式中，ak为待定系数，由下式确定：
ak??Akm?m(x)/hk (3-3-7)
m?0k以艾尔米特正交多项式为例，权函数取为?(x)?1e2??(?(x??)2)2?2,或采用标准
化极限状态函数，权函数取为?(y)?1e2?(?y2)2,积分区间为(??,??)，多项式的
最高次项系数为1，前五项及递推公式为：
H0(y)?1H1(y)?yH2(y)?y2?1H3(y)?y3?3xH4(y)?y4?6y2?3H5(y)?y5?10y3?15yHk?1(y)?yHk(y)?kHk?1(y)
这里取前五项进行拟合，得到待定系数ak的前五项：
a0??0?1a1??1?0a2?(?2?1)/2?0a3?(?3?3?1)/6?0a4?(?4?6?2?3)/24?(?4?3)/24a5?(?5?10?3?15?1)/120?(?5?10?3)/120
3.3.4、计算失效概率
?g?k计算失效概率时，g(X)?0对应着y??;记可靠指标??,积分界限为
?k?g(??,??g)?(??,??);失效概率为： ?g
NN Pf???(y)?akHk(y)dy??(??)??ak?(??)Hk?1(??) (3-3-8)
??k?0k?1??式中，?为标准正态分布函数。上式右边的第一项反映了标准正态分布时的失效概率，第二项反映了高阶矩对第一项的修正。
采用四阶矩计算
Pf??(??)??(?)[?36(?2?1)??4?324(?3?3?)] (3-3-9)
参考文献
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