正余弦函数的图像与性质

正余弦函数的图像与性质

例题1.值域最值:

三角函数最值问题的解题技巧

三角函数的最值问题,是三角函数基础知识的综合应用,它与二次函数、三角函数的单调性、三角函数的图像等知识联系在一起,该问题综合性强,解题方法也多样化.解这类问题是运算能力、分析问题和解决问题能力的综合体现,有一定的难度,要注意灵活选用方法.下面介绍解三角函数最值问题的常见方法.

1、形如y?asinx?b型的函数的最值

x的集合 例题:1)求函数y??2sin3x的最

???3??2)函数y?2sin(2x?),x??,的值域是____ ?3?34?

1

练习:1)求函数y?2sin(2x?2)已知函数f(x)?2sin(2x??3)?1的最值,并求出相应自变量x的取值范围

),若x?[,],求函数y?f(x)的最值以及相应自变量x的值. 3422、形如y?asinx?bcosx型的函数的最值.

例题: 1)求函数f(x)?(sinx?cosx)?sinx的最值

??2)已知a?(1,2sinx)，b?(3cos2x,?cosx),设函数f(x)＝a·b.若x????,0?,求y?f(x)的

最大值、最小值并求出对应的x值 3) 当?????2?x??2时，函数y?sinx?3cosx的（）A.最大值为1,最小值为-1

B.最大值为1,最小值为?21 C.最大值为2,最小值为?2 D.最大值为2,最小值为?1 24)已知函数f(x)?2sin(x?的取值范围.(|f(x)?m|?2)

?)?3cos2x,若不等式f(x)?m?2在x?[,]上恒成立.求m442??2、形如y?asin2x?bsinx?c(a?0)型的函数的最值.

这类问题最后化为二次函数的三角最值问题,利用三角函数的有界性?1?sinx(cosx)?1,并结

合二次函数的性质求得结论.闭区间上的二次函数一定存在最大值、最小值,并且最大值、最小值又一定在极值点或区间端点处获得.

例题:求函数y?sin2x?sinx?1,y??4cos2x?4sinx?6的最值. 练习:1)函数y?2sin2x?2cosx?3的最值 2)求函数y?cos2x?sinx在区间[???,]上的最小值. 443)求函数y??4cos2x?4sinx?6的最值.

4）已知函数f(x)?2cos2x?sinx?4cosx。求f(x)的最大值和最小值。

23、含有sinx?cosx,sinxcosx的函数的最值问题.

通常方法是换元法:令t?sinx?cosx(?2?t?2),将sinxcosx转化为t的关系式,从而使问题转化为二次函数的最值问题.但要注意换元后变量的取值范围. 例题:求函数y?sinx?cosx?sinxcosx的最大值.

练习:函数f(x)?sinxcosx的值域为______________.

1?sinx?cosx由以上几种形式,可以归纳出解三角函数最值问题的基本方法:一是应用正弦、余弦函数的有界性来求；二是利用二次函数闭区间内求最大值、最小值的方法；三是利用重要不等式或利用数形结合的方法来解决.

asinx?basinx?b或y?(了解内容)

csinx?dccosx?d2?cosx4?7例题:求函数y?的最值 2?sinx3sinx?2sinx6?21练习:1)求函数y?的最值2)求函数y?的最值

3?2cosxsinx?254、形如y?说明: 此类问题还可以利用函数表达式的特点,应用数形结合思想使求函数最值的问题转化为求过某个定点与动点的直线斜率的最值问题.

例题2.周期性

2

1???y?2sin(x?) y?sin(x?3) y?cos?(2x?)

2426?,求?的值.

43??（2)直线y?1与函数y?sin(?x?)的图像相邻两交点之间的距离等于,求?的值和周期.

43?（3)已知函数y?sin(?x?),若对任意x?R都有f(x1)?f(x)?f(x2)成立,且|x1?x2|的最小

4?值为,求?的值

6?（4）设函数f?x??cos?x???0?，将y?f?x?的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与

3练习:（1)函数y?sin(?x??)的图像相邻两条对称轴之间的距离等于

原图像重合，则?的最小值等于 (A)

1 (B)3 (C)6 (D)9 3【答案】：C 【命题意图】：本小题主要考查三角函数及三角函数图像的平移变换、周期等有关知识。 【解析】：由题意知

?为函数f?x?co?s?x???3?0周期的正整数倍，所以

?3

?k?2??(k?N*),??6k?6，故?的最小值等于6.

例题3.单调性

例题:1、求函数f(x)?2sin(2x??3)的单调增区间（或在区间[0,?]上的单增区间).

13,tan??2,cos??,则?、?、?的大小顺序是34（ )A.????? B.????? C.????? D.?????

2、?、?、?均为锐角,若sin??练习:（1)求函数f(x)?2sin(?2x??3)的单调增区间.

2tan13?131?cos50???（2)比较a?cos6?,c?的大小 sin6,b?2?1?tan13222例题4. 对称性

11)函数y?sinx的图象的一条对称轴的方程是______

2?A x?0 B x? C x?? D x?2?

22)设函数f(x)?sin(2x??) (?????0),y?f(x)的一条对称轴是直线x?练习:1)下列函数中,最小正周期为?,且图象关于直线x??8

.求?得值；

?对称的是（ ). 3x???A.y?sin(2x?6) B.y?sin(?) C.y?sin(2x?) D.y?sin(2x?)

26633)以下命题中,正确命题的序号是:

3

①函数y?sinx 不是周期函数 ②函数y?tanx在定义域内是增函数 ③函数y?sin(?5???x)是偶函数 ④函数y?2sin(2x?)的图像关于x?成轴对称

1223函数y?Asin(?x??)?k(A?0,??0)的图像

一、图像变换的基本知识点

(1)平移变换:

①左右平移:函数y?f(x?a)的图像可以把函数y?f(x)的图像沿x轴方向向左(a?0)或向

右(a?0)平移|a|个单位即可得到.

②上下平移:函数y?f(x)?a的图像可以把函数y?f(x)的图像沿x轴方向向上(a?0)或向下(a?0)平移|a|个单位即可得到.

(2)对称变换:

①函数y?f(?x)的图像与函数y?f(x)的图像关于y轴对称.

②函数y??f(x)的图像与函数y?f(x)的图像关于x轴对称.

(3)翻折变换:

①函数y?|f(x)|的图像可以将函数y?f(x)图像的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方,去掉

原x轴下方部分,并保留y?f(x)的

yx轴上方部分即可得到.

yy=f(x)yyy=|f(x)|y=f(x)y=f(|x|)ao

②函数y?f(|x|)的图像可以将函数y?f(x)图像的y轴右边部分沿y轴翻折到y轴左边,替

bcxaobcxaobcxaobcx代原y轴左边部分,并保留y?f(x)在y轴右边部分即可得到.

(4)伸缩变换:

①函数y?af(x)(a?0)的图像可以将函数y?f(x)的图像中的每一点横坐标不变,纵坐标伸长

(a?1)或缩短(0?a?1)为原来的a倍得到.

②函数y?f(ax)(a?0)的图像可以将函数y?f(x)的图像中的每一点纵坐标不变,横坐标伸

长(a?1)或缩短(0?a?1)为原来的

1倍得到. a一、画图

例题.用五点作图法画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的大致图像（简图)

1?1?y?2cosx?1,x?[0,2?] y?2sin(x? ) y?2cos(x?)

3624（详见课本53页例1）

例题：把函数y?sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移

?个单位，这时对应于这个图象的解析式为 4

A.y?cos2x B.y??sin2x C.y?sin(2x?练习:（1)若函数y?sin(3x?的值.

?) D.y?sin(2x?) 44??4)的图像向左平移m个单位所对应的函数为偶函数,求最小正实数m 4