当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.
?AB，由（1）知，P1B=15，此时P1（?13，9）； 设P1为l上一点，且PB1?15. 当∠OBP>90°时，在△PPB中，PB?PB11由上可知，d≥15. 再讨论点Q的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设Q（a，9），由AQ?(a?4)2?(9?3)2?15(a?4)，得a=4?321，所以Q（4?321，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上，当P（?13，9），Q（4?321，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离
PQ?4?321?(?13)?17?321.
因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17?321（百米）.
19．本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理
能力．满分16分．
解：（1）因为a?b?c，所以f(x)?(x?a)(x?b)(x?c)?(x?a)． 因为f(4)?8，所以(4?a)?8，解得a?2． （2）因为b?c，
所以f(x)?(x?a)(x?b)?x?(a?2b)x?b(2a?b)x?ab， 从而f'(x)?3(x?b)?x?因为a,b,232233??2a?b?2a?b．令，得或． f'(x)?0x?bx??3?32a?b，都在集合{?3,1,3}中，且a?b， 32a?b所以?1,a?3,b??3．
3此时f(x)?(x?3)(x?3)，f'(x)?3(x?3)(x?1)． 令f'(x)?0，得x??3或x?1．列表如下：
2x (??,?3) ?3 (?3,1) 1 (1,??) f'(x) + 0 极大值 2– 0 极小值 + f(x) 所以f(x)的极小值为f(1)?(1?3)(1?3)??32．
（3）因为a?0,c?1，所以f(x)?x(x?b)(x?1)?x?(b?1)x?bx，
32f'(x)?3x2?2(b?1)x?b．
因为0?b?1，所以??4(b?1)?12b?(2b?1)?3?0， 则f'(x)有2个不同的零点，设为x1,x2?x1?x2?．
22b?1?b2?b?1b?1?b2?b?1,x2?由f'(x)?0，得x1?．
33列表如下：
x f'(x) f(x) (??,x1) + x1 0 极大值 ?x1,x2? – x2 0 极小值 (x2,??) + 所以f(x)的极大值M?f?x1?． 解法一：
M?f?x1??x13?(b?1)x12?bx1
22b?b?1??xb?1b(b?1)??21?[3x1?2(b?1)x1?b]???x? 1?3999????2?b2?b?1?(b?1)27b(b?1)2??927?b?b?12?
3b(b?1)2(b?1)2(b?1)2???(b(b?1)?1)3
272727?b(b?1)244．因此M?． ??27272727解法二：
因为0?b?1，所以x1?(0,1)．
当x?(0,1)时，f(x)?x(x?b)(x?1)?x(x?1)． 令g(x)?x(x?1),x?(0,1)，则g'(x)?3?x??(x?1)． 令g'(x)?0，得x?22??1?3?1．列表如下： 31(0,) 3+ x g'(x) g(x) 所以当x?1 30 极大值 1(,1) 3– 1?1?4时，g(x)取得极大值，且是最大值，故g(x)max?g???．
3273??44，因此M?． 2727所以当x?(0,1)时，f(x)?g(x)?20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综
合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分． 解：（1）设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.
?a12q4?a1q4?a2a4?a5?a1?1由?，得?2，解得?．
a?4a?4a?0q?2aq?4aq?4a?021??3?111因此数列{an}为“M—数列”.
122??（2）①因为，所以bn?0． Snbnbn?1122??，则b2?2. b?1,S?b由111，得11b2由
bnbn?1122??，得Sn?， Snbnbn?12(bn?1?bn)当n?2时，由bn?Sn?Sn?1，得bn?整理得bn?1?bn?1?2bn．
bnbn?1bn?1bn?，
2?bn?1?bn?2?bn?bn?1?所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.
因此，数列{bn}的通项公式为bn=nn?N②由①知，bk=k，k?N*.
?*?.
因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0. 因为ck≤bk≤ck+1，所以q当k=1时，有q≥1； 当k=2，3，…，m时，有
k?1?k?qk，其中k=1，2，3，…，m.
lnklnk?lnq?． kk?1设f（x）=
lnx1?lnx(x?1)，则f'(x)?． 2xx令f'(x)?0，得x=e.列表如下：
x f'(x) (1,e) + e 0 极大值 (e，+∞) – f（x） 因为
ln2ln8ln9ln3ln3???，所以f(k)max?f(3)?． 266333取q?3，当k=1，2，3，4，5时，
k?1lnk?lnq，即k?qk， k经检验知q?k也成立．
因此所求m的最大值不小于5．
351515
若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q，且q≤6，从而q≥243，且q≤216，
所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上，所求m的最大值为5．
数学Ⅱ(附加题)
21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
?31?已知矩阵A??? 22??（1）求A2；
（2）求矩阵A的特征值.
B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在极坐标系中，已知两点A?3,??????????,B2,?sin??，直线l的方程为??????3. 4??2?4??（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离. C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 设x?R，解不等式|x|+|2 x?1|>2.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤．
n222.（本小题满分10分）设(1?x)?a0?a1x?a2x?2?anxn,n…4,n?N*.已知a3?2a2a4.
n（1）求n的值；（2）设(1?3)?a?b3，其中a,b?N*，求a2?3b2的值.
23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，设点集An?{(0,0),(1,0),(2,0),?,(n,0)}，
Bn??(0,1),(n,1)},Cn?{(0,2),(1,2),(2,2),令Mn?An,(n,2)},n?N?.
BnCn.从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.
（1）当n=1时，求X的概率分布；
（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）.
数学Ⅱ(附加题)参考答案
21．【选做题】
A．[选修4–2：矩阵与变换]
本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．
?31?A?解：（1）因为?22?，
??所以A??2?31??31???22? 22????
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