《概率论与数理统计》课外学习指导
（1）只有两个可能结果的试验称为贝努里试验，常记为E．E也叫做“成功—失败”试验,“成功”的概率常用p?P(A)表示，其中A＝“成功”.
（2）把E重复独立地进行n次，所得的试验称为n重贝努里试验，记为E． （3）把E重复独立地进行可列多次，所得的试验称为可列重贝努里试验，记为E．以上三种贝努里试验统称为贝努里概型．
kkn?kkkn?knCp(1?p)?Cpq,(0?k?n)其中kEnn（4）中成功次的概率是：
?np?q?1(0?p?1).
疑 难 分 析
1、必然事件与不可能事件
必然事件是在一定条件下必然发生的事件，不可能事件指的是在一定条件下必然不发生的事件.它们都不具有随机性，是确定性的现象，但为研究的方便，把它们看作特殊的随机事件.
2、互逆事件与互斥（不相容）事件
如果两个事件A与B必有一个事件发生，且至多有一个事件发生，则A、B为互逆事件；如果两个事件A与B不能同时发生，则A、B为互斥事件.因而，互逆必定互斥，互斥未必互逆.区别两者的关键是：当样本空间只有两个事件时，两事件才可能互逆，而互斥适用与多个事件的情形.作为互斥事件在一次试验中两者可以都不发生，而互逆事件必发生一个且只发生一个.
3、两事件独立与两事件互斥
两事件A、B独立，则A与B中任一个事件的发生与另一个事件的发生无关，这时
P(AB)?P(A)P(B)；而两事件互斥，则其中任一个事件的发生必然导致另一个事件不发
生，这两事件的发生是有影响的，这时AB??,P(AB)?0. 4、条件概率P(A|B)与积事件概率P(AB)
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P(AB)是在样本空间?内，事件AB的概率，而P(A|B)是在试验E增加了新条件B发生后的缩减的样本空间?B中计算事件A的概率.虽然A、B都发生，但两者是不同的，一般说来，当A、B同时发生时，常用P(AB)，而在有包含关系或明确的主从关系时，用
P(A|B).如袋中有9个白球1个红球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求：（1）
第二次才取到白球的概率；（2）第一次取到的是白球的条件下，第二次取到白球的概率.问题（1）求的就是一个积事件概率的问题，而问题（2）求的就是一个条件概率的问题. 5、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式
当所求的事件概率为许多因素引发的某种结果，而该结果又不能简单地看作这诸多事件之和时，可考虑用全概率公式，在对样本空间进行划分时，一定要注意它必须满足的两个条件.贝叶斯公式用于试验结果已知，追查是何种原因（情况、条件）下引发的概率.
例 题 解 析
【例1】写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点：
（1）掷一棵骰子，出现奇数点. （2）投掷一枚均匀硬币两次：
1）第一次出现正面；2）两次出现同一面；3）至少有一次出现正面.
（3）在1，2，3，4四个数中可重复地抽取两个数，其中一个数是另一个数的两倍. （4）将a,b两只球随机地放到3个盒子中去，第一个盒子中至少有一个球.
分析：可对照集合的概念来理解样本空间和样本点：样本空间可指全集，样本点是元素，事件则是包含在全集中的子集.
解:(1) 掷一棵骰子，有六种可能结果，如果用“1”表示“出现1点”这个样本点，其余类似.则样本空间为：?={1，2，3，4，5，6}，出现奇数点的事件为：{1，3，5}.
（2）投掷一枚均匀硬币两次，其结果有四种可能，若用（正，反）表示“第一次出现正面，第二次出现反面”这一样本点，其余类似.则样本空间为：?={（正,正）,（正,反）,（反,正）,（反,反）}，用A、B、C分别表示上述事件1）、2）、3），则事件A={（正,
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正）,（正,反）}；事件B={（正,正），（反,反）}；事件C={（正,正）,（正,反）,（反,正）}.
2（3）在1，2，3，4四个数中可重复地抽取两个数，共有4?16种可能，若用(i,j)表
示“第一次取数i，第二次取数j”这一样本点，则样本空间为：?={(i,j)}(i,j?1,2,3,4)；其中一个数是另一个数的两倍的事件为：{（1,2）,（2,1）,（2,4）,（4,2）}.
(4)三个盒子分别记为甲、乙、丙，将a,b两只球随机地放到3个盒子中去共有九种结果.若用（甲、乙）表示“a球放入甲盒，b球放入乙盒”这一样本点，其余类似.则样本空间为：?={（甲，甲），（甲，乙），（甲，丙），（乙，乙），（乙，甲），（乙，丙），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丙）}；第一个盒子中至少有一个球的事件为：{（甲，甲），（甲，乙），（甲，丙），（乙，甲），（丙，甲）}.
【例2】设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件：
（1）仅A发生； （2）A与C都发生，而B不发生； （3）所有三个事件都不发生；（4）至少有一个事件发生； （5）至多有两个事件发生； （6）至少有两个事件发生； （7）恰有两个事件发生； （8）恰有一个事件发生. 分析：利用事件的运算关系及性质来描述事件.
解：（1）ABC；（2）ABC；（3）ABC或A?B?C；（4）A?B?C或
ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC；（5）A?B?C或ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC；
（6）AB?AC?BC或ABC?ABC?ABC?ABC； （7）ABC?ABC?ABC；（8）ABC?ABC?ABC.
【例3】把n个不同的球随机地放入N(N?n)个盒子中，求下列事件的概率：
（1）某指定的n个盒子中各有一个球； （2）任意n个盒子中各有一个球；
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（3）指定的某个盒子中恰有m(m?n)个球.
分析：这是古典概率的一个典型问题，许多古典概率的计算问题都可归结为这一类型.每个球都有N种放法，n个球共有N种不同的放法.“某指定的n个盒子中各有一个球”相当于n个球在n个盒子中的全排列；与（1）相比，（2）相当于先在N个盒子中选n个盒子，再放球；（3）相当于先从n个球中取m个放入某指定的盒中，再把剩下的n?m个球放入N?1个盒中.
解：样本空间中所含的样本点数为N. （1）该事件所含的样本点数是n!，故：
nnp?n!Nn；
nn!np?CN?CNn；（2）在N个盒子中选n个盒子有N种选法，故所求事件的概率为：
（3）从n个球中取m个有Cn种选法，剩下的n?m个球中的每一个球都有N?1种放
n?m(N?1)p?C?nNm法，故所求事件的概率为：
Nn.
【例5】设事件A与B互不相容，且P(A)?p,P(B)?q，求下列事件的概率：
P(AB),P(A?B),P(AB),P(AB).
分析：按概率的性质进行计算.
解：A与B互不相容，所以AB??，P(AB)?P(?)?0；
P(A?B)?P(A)?P(B)?p?q；由于A与B互不相容，这时AB?A，从而
P(AB)?P(A)?p；由于AB?A?B，从而P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?(p?q).
【例6】某住宅楼共有三个孩子，已知其中至少有一个是女孩，求至少有一个是男孩的概率（假设一个小孩为男或为女是等可能的）.
分析：在已知“至少有一个是女孩”的条件下求“至少有一个是男孩”的概率，所以是
P(B|A)?条件概率问题.根据公式
P(AB)P(A)，必须求出P(AB),P(A).
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