魏宗舒《概率论与数理统计》学习指导讲义

《概率论与数理统计》课外学习指导

解：设A={至少有一个女孩}，B={至少有一个男孩}，则A={三个全是男孩}，B={三个全是女孩}，于是

P(A)?11??P(B)238，事件AB为“至少有一个女孩且至少有一个男孩”，因为

AB?A?B，且AB??，

所以 P(AB)?1?P(AB)?1?P(A?B)=

11371?[P(A)?P(B)]?1?(?)?,P(A)?1?P(A)?8848，

从而，在已知至少有一个为女孩的条件下，求至少有一个是男孩的概率为：

3P(AB)46P(B|A)???77P(A)8.

【例7】某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件制造厂提供的.根据以往的记录有以下的数据(表1-1).

表1-1 元件制造厂 1 2 3 次品率 0.02 0.01 0.03 提供晶体管的份额 0.15 0.80 0.05 设这三家工厂的产品在仓库中均匀混合的，且无区别的标志.（1）在仓库中随机地取一只晶体管，求它是次品的概率.（2）在仓库中随机地取一只晶体管，若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，需求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少.试求这些概率.

分析：事件“取出的一只晶体管是次品”可分解为下列三个事件的和：“这只次品是一厂提供的”、“这只次品是二厂提供的”、“这只次品是三厂提供的”，这三个事件互不相容，可用全概率公式进行计算.一般地，当直接计算某一事件A的概率P(A)比较困难，而

P(Bi),P(A|Bi)比较容易计算，且?iBi??时，可考虑用全概率公式计算P(A).（2）为

条件概率，可用贝叶斯公式进行计算.

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解：设A表示“取到的是一只次品”，厂提供的”.易知，

Bi(i?1,2,3)表示“所取到的产品是由第i家工

B1,B2,B3是样本空间?的一个划分，且有

P(B1)?0.15,P(B2)?0.80,P(B3)?0.05,P(A|B1)?0.02,P(A|B2)= 0.01,P(A|B3)?0.03.

（1）由全概率公式：

P(A)??P(Bi)P(A|Bi)?0.0125i?13.

（2）由贝叶斯公式：

P(B1|A)?P(A|B1)P(B1)?0.24,P(B2|A)?0.64,P(B3|A)?0.12P(A).

以上结果表明，这只次品来自第二家工厂的可能性最大.

【例8】一名工人照看A、B、C三台机床，已知在1小时内三台机床各自不需要工人照看的概率为P(A)?0.9,P(B)?0.8,P(C)?0.7.求1小时内三台机床至多有一台需要照看的概率.

分析：每台机床是否需要照看是相互独立的，这样，可根据事件的独立性性质及加法公式进行计算.

解：各台机床需要照看的事件是相互独立的，而三台机床至多有一台需要照看的事件D可写成：D?ABC?ABC?ABC?ABC，则由加法公式与独立性性质得：

P(D)?P(ABC?ABC?ABC?ABC)?P(ABC)?

P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)=0.902.

【例9】某车间有10台同类型的设备，每台设备的电动机功率为10千瓦.已知每台设备每小时实际开动12分钟，它们的使用是相互独立的.因某种原因，这天供电部门只能给车间提供50千瓦的电力.问该天这10台设备能正常运作的概率是多少？

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分析：由题意知，所要求的概率就是求“该天同时开动的设备不超过5台”这一事件的概率.因为每台设备的使用是相互独立的，且在某一时刻，设备只有开动与不开动两种情况，所以本题可视为10重贝努里试验，可用二项概率公式进行求解.

解：设A表示事件“设备开动”，X表示“同时开动的设备数”，则由二项概率公式

k1k410?kP{X?k}?C(5)(5)，同时开动不超过5台的概率：10得：

P{X?5}?P{X?0}?P{X?1}???P{X?5}?0.994；

故该天这10台设备能正常运作的概率为0.994.

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第二章 离散型随机变量

内 容 提 要

基本内容：离散型随机变量的概率分布，常见随机变量的分布，数学期望与方差，条件分布列，条件数学期望

1、随机变量

设?是随机试验的样本空间，如果对于试验的每一个可能结果???，都有唯一的实数X(?)与之对应，则称X(?)为定义在?上的随机变量，简记为X.随机变量通常用大写字母X、Y、Z等表示.

设(?,F,P)是一个概率空间，X:??R,若?x?R，有??|X(?)?x??F, 则称X是一个随机变量.

2、离散型随机变量及其分布列

如果随机变量X只能取有限个或可列个可能值，则称X为离散型随机变量.如果X的一切可能值为x1,x2,?，并且X取

xk的概率为pk，则称

pk?P{X?xk}(k?1,2,3,?)

为离散型随机变量X的概率函数（概率分布或分布律）.也称分布列，常记为

?x1??p1其中

x2?xn???p2?pn??

pi?0,?pi?1i.

3、常见的离散型随机变量的分布有：

（1）两点分布（0-1分布）：记为X~B(1,p)，分布列为

P{X?k}?pk(1?p)1?k,k?0,1,　　0?p?1

?0X~??q或

1??p?