层级二 专题六 第2讲 概率与统计的综合应用(文)
限时50分钟 满分76分
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1.
(2020·吉林百校联盟联考)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象地表达了阴阳轮转，展现了一种相互转化、相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐π
标系中，圆O被y＝3sinx的图象分割为两个对称的鱼形图案，如图所示，其中小圆的半径
6均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )
A.C.
1
361 12
B.1 18
1D. 9
解析：B [由题意，所求事件的概率模型是一个与面积相关的几何概型． π
由图可知，大圆的直径等于函数y＝3sinx的周期T.
6
T12π
设大圆的半径为R，则R＝＝×＝6，
22π
6
则大圆面积为S1＝πR＝36π.
两个小圆的半径都为1，故其面积和为S2＝π×1×2＝2π， 2π1
由几何概型可得，所求事件的概率P＝＝.故选B.]
36π18
2．(课标全国Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
1A. 32C. 3
1B. 25D. 6
2
2
解析：C [从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法：(红黄)、(红白)、(红紫)、(黄白)、(黄紫)、(白紫)，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白
42
色的花不在同一花坛)的选法有4种，所以所求事件的概率P＝＝，故选C.]
63
3．(2020·海口模拟)某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课上课时间为7：50～8：30，课间休息10分钟，某同学请假后返校，若他在8：50～9：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率是( )
1A. 51C. 3
1B. 41D. 2
解析：B [他在8：50～9：30之间随机到达教室，区间长度为40，他听第二节课的时间不少于20分钟，则他在8：50～9：00之间随机到达教室，区间长度为10，所以他在8：50～101
9：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率是＝.]
404
4．(2019·全国Ⅲ卷)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )
1A. 61C. 3
1B. 41D. 2
解析：D [本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数1
相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是.故
2选D.]
5．(2020·保定模拟)甲、乙、丙三名同学6次数学成绩及班级平均分(单位：分)如表所示：
甲 乙 丙 全班 第一次 95 88 69 88 第二次 87 80 63 72 第三次 92 85 72 81 第四次 93 78 71 80 第五次 87 86 74 75 第六次 94 72 74 77 则下列说法错误的是( ) A．甲同学的数学成绩高于班级平均水平，且较稳定 B．乙同学的数学成绩平均值是81.5分
C．从丙同学前4次的数学成绩中随机抽取2次，这2次中至少有1次成绩超过70分的
5概率为
6
1
D．在6次数学成绩中，乙同学成绩超过班级平均分的概率为
2
解析：D [由统计表知，甲同学的数学成绩高于班级平均水平，且较稳定，故A正确；1
乙同学的数学成绩平均值是×(88＋80＋85＋78＋86＋72)＝81.5，故B正确；从丙同学前4
6次的数学成绩中随机抽取2次的所有可能情况为(69,63)，(69,72)，(69,71)，(63,72)，(63,71)，)(72,71)，共6种，至少有1次成绩超过70分的情况为(69,72)，(69,71)，(63,72)，5
(63,71)，(72,71)，共5种，故所求概率为，故C正确；在6次数学成绩中，乙同学成绩超
61
过班级平均分的次数为2，所以超过班级平均分的概率为，故D不正确．故选D.]
3
6．(2019·潍坊三模)某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，销售价为8元，每天销售的第20个及之后的商品按半价出售，该商场统计了近10天这种商品的销售量，如图所示．设x为这种商品每天的销售量，y为该商场每天销售这种商品的利润．从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率为( )
1A. 91C. 5
B.1 10
1D. 8
解析：B [当日销售量不少于20个时，日利润不少于96元，其中日销售量为20个时，日利润为96元；日销售量为21个时，日利润为97元．从条形统计图可以看出，日销售量为20个的3天，日销售量为21个的有2天．日销售量为20个的3天，分别记为a，b，c，日销售量为21个的2天，分别记为A，B，从这5天中任选2天，可能的情况有10种：(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，其中选出1
的2天日销售量都为21个的情况只有1种，故所求概率P＝.]
10
二、填空题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)
7．已知1,4,2,8，y这5个数的平均值为4，在2,0,1，y这4个数中随机取出3个不同的数，则2是取出的3个不同数的中位数的概率为________．
解析：由题意得4×5＝1＋4＋2＋8＋y，得y＝5，从数2,0,1,5中随机取出3个不同的数，有(2,0,1)，(2,0,5)，(0,1,5)，(2,1,5)，共4种不同情况，其中2是取出的3个不同21
数的中位数的是(2,0,5)，(2,1,5)，共2种，∴对应的概率P＝＝.
42
1答案： 2
8．(2019·江苏卷)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________．
解析：计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环．在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，设3名男同学为A1、A2、A3,2名女同学为B1、B2，则从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，A1A2、A1A3、A1B1、A1B2、A2A3、A2B1、A2B2、A3B1、A3B2、B1B2共10种情况．
若选出的2名学生恰有1名女生，有A1B1、A1B2、A2B1、A2B2、A3B1、A3B2共6种情况， 若选出的2名学生都是女生，有B1B2共1种情况， 6＋17
所以所求的概率为＝.
10107
答案：
10
三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)
9．(2020·武汉模拟)某公司为了提高利润，从2013年至2019年每年都对生产环节的改进进行投资，投资金额x(单位：万元)与年利润增长量y(单位：万元)的数据如表：
年份 投资金额x/万元 年利润增长量y/万元 2013 4.5 6.0 2014 5.0 7.0 2015 5.5 7.4 2016 6.0 8.1 2017 6.5 8.9 2018 7.0 9.6 2019 7.5 11.1 (1)请用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程．如果2020年该公司计划对生产环节的改进的投资金额为8万元，估计该公司在该年的年利润增长量为多少？(结果保留两位小数)
(2)现从2013年至2019年这7年中抽出两年进行调查，记λ＝年利润增长量－投资金额，求这两年都是λ＞2万元的概率．
解析：(1)x＝6，y＝8.3,7x y＝348.6，
^
a＝y＝bx＝8.3－1.571×6＝－1.126≈－1.13，
^
所以回归直线方程为y＝1.57x－1.13.
^
将x＝8代入方程得y＝1.57×8－1.13＝11.43， 即该公司在该年的年利润增长量大约为11.43万元． (2)由题意可知，
年份 2013 1.5 2014 2 2015 1.9 2016 2.1 2017 2.4 2018 2.6 2019 3.6 ^
λ/万元 2013年至2019年这7年分别记为1,2,3,4,5,6,7，则总的基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，(6,7)，共21种，
抽出的两年都是λ＞2万元的情况为(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，(6,7)，共6种，
62所以抽出的两年都是λ＞2万元的概率P＝＝.
217
10．(2019·北京卷)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变，近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
支付金额 支付方式 不大于2 000元 大于2 000元
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