显然所以y＝
解得．
，定义域为
． ，即y＝
，
．
．
，
．
（2）由（1）知，y＝令则 令列表： t 所以当
时，＋ 单调增 ，得
或
（舍）或（舍）．
0 极大值 － 单调减 取最大值，y取最大值．
米．
答：面积y取最大值时，AP的长为
【点睛】本题考查了导函数的实际运用，利用导函数求最值，易错点在于求出函数的解析式而忽略了定义域，属于中档题.
18.如图，已知椭圆C：
的离心率为，右准线方程为
，A，B分别是椭圆C的左，右顶点，
过右焦点F且斜率为k(k＞0)的直线l与椭圆C相交于M，N两点．
13
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）记△AFM，△BFN的面积分别为S1，S2，若
，求k的值；
（3）设线段MN的中点为D，直线OD与右准线相交于点E，记直线AM，BN，FE的斜率分别为k1，k2， ，求k2·(k1－) 的值． 【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）根据题意，由离心率为，右准线方程为
求出a＝2，c＝1，故得到答案；
；（2）；（3）
（2）设点M(x1，y1)， N(x2，y2)，据题意，既而求得斜率k；
求得所以，再将点带入方程求得点的坐标，
（3）先用点差法，求得与k的关系，以及直线AM，然后联立AM与椭圆求得k1与k的关系，同理求得k2与k的关系，然后进行整理化简可得答案. 【详解】（1）设椭圆的焦距为2c(c＞0)． 依题意，
，且
，解得a＝2，c＝1．
故b2＝a2－c2＝3． 所以椭圆C的标准方程为
．
（2）设点M(x1，y1)， N(x2，y2)．
据题意，，即，整理可得，所以．
代入坐标，可得 即
又点M， N在椭圆C上，所以解得
所以直线l的斜率．
（3）依题意，点M(x1，y1)， N(x2，y2)在椭圆C上，
14
所以两式相减，得，
即，所以，即，
所以直线OD的方程为，令x＝4，得，即，
所以．
又直线AM的方程为，与椭圆C联立方程组
整理得，
所以，得，．
所以点M的坐标为．
同理，点N的坐标为又点M，N，F三点共线，
．
所以，整理得，
依题意，，，故．
由可得，，即．
所以．
【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，解题的关键是在于问题的转化以及计算，属于难题. 直线与圆锥曲线解题步骤：
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(1)设出点和直线的方程（考虑斜率的存在）；
（2）联立方程，化简为一元二次方程（考虑判别式），利用韦达定理； （3）转化，由题已知转化为数学公式； （4）计算，细心计算. 19.已知函数（1）若函数（2）设函数①求函数②若不等式
的单调区间；
对任意的实数
恒成立，求实数a的取值范围．
的图象在
，其中
．
垂直，求实数a的值；
处的切线与直线．
【答案】（1）1；（2）①见解析②【解析】 【分析】
（1）求导，然后求得在x=1处的切线方程，然后利用垂直求出a的值； （2）①求导函数，然后对a进行讨论，然后求得原函数的单调区间； ②不等式
对任意的实数
成立，当
或
恒成立，转化为
的最小值大于0，由第一问知函数的单调性，对
a进行分类，易知求得a的范围. 【详解】（1）因为函数所以所以函数即依题意，
所以实数a的值为1． （2）令则（1）① 若② 若若若
，记，即，即
，则，令，，图象在
时，利用单调性，最值以及零点的存在性定理判断出不符合题意，
，定义域为
，
，
，
处的切线方程为．
，解得
．
，
，
． ，故函数．
，函数，得
在
，在
，
上单调增．
上单调增．
．
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