高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《3.1.1两角差的余弦公式》评估训练

双基达标 ?限时20分钟?

1．计算cos 80°cos 20°＋sin 80°·sin 20°的值为( )． 2312A.2 B.2 C.2 D．－2 答案 C

π?π?3??

2．设α∈?0，2?，若sin α＝5，则2cos?α－4?＝( )．

????7171

A.5 B.5 C．－5 D．－5 π?34?

解析 ∵α∈?0，2?，sin α＝5，∴cos α＝5.

??π?ππ???

∴2cos?α－4?＝2?cos αcos 4＋sin αsin 4?

????437

＝cos α＋sin α＝5＋5＝5. 答案 A

510

3．(2012·齐齐哈尔高一检测)若cos(α－β)＝5，cos 2α＝10，并且α、β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为( )．

ππ3π5πA.6 B.4 C.4 D.6 π

解析 ∵0<α<β<2， π

∴－2<α－β<0,0<2α<π， ∴由cos(α－β)＝

525，得sin (α－β)＝－， 55

10310

由cos 2α＝10，得sin 2α＝10. ∴cos(α＋β)＝cos[2α－?α－β?] ＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β) 10510?25?2

?＝－. ＝10×5＋310×?－

25??

3π

又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝4. 答案 C

13

4．计算2sin 60°＋2cos 60°＝________. 解析 原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°cos 60° 3＝cos(60°－30°)＝cos 30°＝2. 3答案 2 ?π?1

5．已知cos ?3－α?＝8，则cos α＋3sin α的值为________．

??ππ?π?

解析 cos?3－α?＝cos 3cos α＋sin 3sin α

??13

＝2cos α＋2sin α 11＝2(cos α＋3sin α)＝8， 1

故cos α＋3sin α＝4. 1答案 4

45

6．已知sin α＝－5，sin β＝13，且180°<α<270°，90°<β<180°，求cos(α－β)． 4

解 因为sin α＝－5，180°<α<270°， 3所以cos α＝－5. 因为sin β＝

512，90°<β<180°，所以cos β＝－. 1313

所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ?3??12??4?5

＝?－5?×?－13?＋?－5?×13 ??????362016＝65－65＝65.

综合提高 ?限时25分钟?

7．下列式子中正确的个数是( )

π

①cos(α－β)＝cos α－cos β；②cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β；③cos(2－α)＝π

cos α；④cos(2＋α)＝cos α.

A．0 B．1 C．2 D．3 解析 ①②③④都错． 答案 A

2

8．不满足sin αsin β＝2－cos αcos β的一组α，β值是( ) ππ

A．α＝2，β＝4 2ππ

C．α＝3，β＝12

2π5π

B．α＝3，β＝12 ππ

D．α＝4，β＝2 22

解析 因为sin αsin β＝2－cos αcos β，所以cos(α－β)＝2，经检验C中的α，β不满足，故选C. 答案 C

25?π?

9．若α为锐角，且cos α＝5，则cos ?4－α?＝________.

??

255π?π?

解析 由α为锐角，且cos α＝5，可得sin α＝5.于是cos?4－α?＝cos 4cos α

??π22525310

＋sin αsin 4＝2×5＋2×5＝10. 答案

31010 π?12π?3?3π???α＋β，πβ－α＋)＝－5，?，10．已知α，β∈?4sin(sin?＝，则cos?＝________. 4?4?????13???3π?

解析 ∵α，β∈?4，π?，

??

π?π3π??3π?

∴α＋β∈?2，2π?，β－4∈?2，4?，

????π?123?

又sin(α＋β)＝－5，sin?β－4?＝13，

??4

∴cos(α＋β)＝1－sin2?α＋β?＝5，

π??

cos?β－4?＝－ ??π?5?

1－sin2?β－4?＝－13. ??

π????π??

∴cos?α＋4?＝cos??α＋β?－?β－4??

??????π?π???

＝cos(α＋β)cos?β－4?＋sin(α＋β)sin?β－4?

????4?5??3?1256

－－????＝5×13＋5×13＝－65. ????56答案 －65

416

11．已知α、β为锐角，且cos α＝5，cos(α＋β)＝－65，求cos β的值． π

解 ∵0<α，β<2，∴0<α＋β<π. 1663

由cos(α＋β)＝－65，得sin(α＋β)＝65. 43

又∵cos α＝5，∴sin α＝5. ∴cos β＝cos[?α＋β?－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ?16?46335＝?－65?×5＋65×5＝13. ??

1212π3π12．(创新拓展)已知cos (α－β)＝－13，cos(α＋β)＝13，且2<α－β<π，2<α＋β<2π，求角β的值．

12π

解 由cos (α－β)＝－13，且2<α－β<π， 5

得到sin(α－β)＝13，

123π

由cos(α＋β)＝13，且2<α＋β<2π， 5

得到sin(α＋β)＝－13.

121255

于是cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]＝13×(－13)＋(－13)×13＝－1. ππ3π

由于2<α－β<π，所以－π<β－α<－2，与2<α＋β<2π相加得到，