第五讲 三大原理

上海市2014年龙文1对1

小学五年级 第五讲 三大原理

容斥原理

容斥原理:

两量重叠问题：A∪B=A+B-A∩B

三量重叠：A?B?C?A?B?C?A?B?B?C?A?C?A?B?C

韦恩图

【例1】 （第六届“中环杯”六年级决赛）某商店调查A、B两种商品的销售情况。

41在被调查的家庭中，有的家庭不用A商品。 的家庭不用B商品，22731户家庭既用A商品又用B商品，的家庭两种商品都不用，该商店共调

6例题选讲

查了（ ）家庭。

【例2】 在一个炎热的夏日，10个小学生去冷饮店每人都买了冷饮。其中6人买

了汽水，6人买了可乐，4人买了果汁，有 3人既买了汽水又买了可乐，1人既买了汽水又买了果汁，2人既买了可乐又买了果汁。问： (1)三样都买的有几人？ (2)只买一样的有几人？ 【分析】

(1)设三样都买的学生有a人，那么6+6+4-3-1-2+a=10，解得a=0，所以没有人三种东西都买了.

(2)去冷饮店的学生中除了买一样的外，只有买两样东西的，因为买两样东西的有3+1+2=6(人)，所以买一样东西的学生有10-6=4(人).

【例3】 某班有学生46人，在调查他们家中是否有电子琴和小提琴时发现，有

电子琴的22人，两种琴都没有的14人，只有小提琴的与两种琴都有的人数之比是5∶3。问：只有电子琴的有多少人？

【分析】 46人中除去有电子琴的22人，剩下的24人不是两种琴都没有，就是只有小提琴，所以只有小提琴的人数为24-14=10人，所以两种琴都有的人数为10×3÷5=6人，所以只有电子琴的人数为14-6=8人.

【例4】 （第六届“中环杯”五年级初赛）甲、乙、丙三人浇花，甲浇了68盆，

乙浇了62盆，丙浇了56盆。已知共有花90盆，则三人都浇了的花至少有

多少盆？

【分析】甲，乙共浇68+62=130（盆），而花有90盆，所以，甲，乙都浇了130-90=40盆，丙没有浇90-56=34盆，要想甲，乙，丙共浇的花最少，则甲乙共浇的40盆中应该包括丙没有浇的34盆。所以他们都浇了的至少有40-34=6盆。

【例5】 有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4

厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断．问绳子共被剪成了多少段?

【分析】只需先计算剪了多少刀，再加上1即为剪成的段数．从一端开始，将绳上距离这个端点整数厘米数的点编号，并将距离长度作为编号．

?180??180?有1～180，3的倍数有?=60个，4的倍数有=45个，而既是3的倍数，???34?????180?又是4的倍数的数一定是12的倍数，所以这样的数有?=15个． ??12?注意到180厘米处的无法标上记号，所以剪了(60-1)+(45-1)-(15-1)=89，所以绳子被剪成89+1=90段

抽屉原理

抽屉原理：

抽屉原理一：将n+1个元素放到n个抽屉中去，则无论怎么放，必定有一

个抽屉至少有两个元素．

抽屉原理二：将nr+1个元素放到n个抽屉中去，则无论怎么放，必定有一个抽

屉至少有r+1个元素．

抽屉原理三：将m个元素放到n个抽屉中去(m≥n)，则无论怎么放，必定有一

个抽屉至少有??m?1??1个元素． ??n? 例题选讲

【例6】 要把61个乒乓球分装在若干个乒乓球盒中，每个盒子最多可以装5个乒乓球，问

至少有多少个盒子中的乒乓球数目相同？

【例7】 证明：在从1开始的前10个奇数中任取6个，一定有2个数的和是20. 【分析】 将10个奇数分为五组(1、19)，(3、17)，(5、15)，(7、13)，(9、11)，任取6个必有两个奇数在同一组中，这两个数的和为20.

【例8】 从1，2，3，?，2007，2008这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中

每两个数的差都不等于4？

【分析】 1，2，3，4，9，10，1l，12，17，18，19，20，25，?，

这些数中任何两个数的差都不为4，这些数是每8个连续的数中选取前4个连续的数． 有2008÷8=251，即8人一组，有251组， 所以 答案为 251×4=1004(个)

【例9】 从1至1993这1993个自然数中最多能取出多少个数，使得其中任意的两数都不

连续且差不等于4？

【分析】 1，3，6，8，11，13，16，18，21，?，这些数中任何两个数不连续且差不等于4，这些数是每5个连续的数中选择第1、3个数．

1993÷5=398??3. 所以最多可以选398×2+2=798个数．当然还可以是1，4，6，9，11，14，16，19，21，?，

这些数满足条件，是每5个连续的数中选择第1、4个数．但是此时最多只能选出398×2+l=797个数．

【例10】 （第七届“中环杯”六年级初赛）口袋中装有写着1、2、3、4、5、6的卡片若

干张，每次任意从中取出两张，至少要取多少次才能保证有两次取出的卡片完全相同？

【例11】 证明在任意的52个正整数中，一定可以找到两个数a，b，使得a?b或a?b能被

100整

加乘原理

加乘原理

这三大数学原理贯穿小学、初中甚至高中的奥数课堂，是学习很多知识的基础，属于奥数必备知识。容斥原理是竞赛中的热点，熟练掌握容斥原理的公式和韦恩图，是解决此类题型的关键。在完成一件事的方法计数时，加乘原理的运用非常广泛，分清楚事情是分类（加法分类，类类独立）还是分步（乘法分步，步步相关）去完成是它的一个难点。抽屉原理和最不利原则往往在竞赛中会一起出现，遇到比较复杂的抽屉原理题目，寻找和构造合适的抽屉是非常重要的。

例题选讲 【例12】 （第八届“中环杯”六年级复赛）三位数中各位数之和为10的数共有（ ）个。

【例13】 （第七届“中环杯”六年级初赛）妈妈要外地出差，临走前交给小李10粒糖，并

告诉他每天吃1粒或者2粒，吃完为止.那么，小李有（ ）种不同的方法把糖吃完.

【例14】 12个人围成一圈，从中选出三个人，其中恰有两人相邻，共有多少种不同选法？ 【分析】两人相邻的情况有12种，第三个人不能与他们相邻，所以对于每一种来说，只剩8个人可选，12×8=96（种）共有60种不同的选法.

【例15】 北京到广州之间有10个站，其中只有两个站是大站（不包括北京、广州），从大

站出发的车辆可以配卧铺，那么铁路局要准备多少种不同的卧铺车票？

【分析】京广线上一共有12个站，其中有四个大站，卧铺车的起点可以有四种，不同的起点站都可以配11个不同的终点站，所以铁路局要准备4×11=44种不同的车票

【例16】 （2008年第六届“走进美妙的数学花园”六年级决赛）从1~25这25个自然数中，

每次取出两个不同的数，使它们的和是4的倍数，共有_____种不同的取法。

巩固精炼

【练习1】 甲、乙、丙三人同时在读同样的故事书，书中有100个故事，每个人都从某一个

故事开始，按顺序往后读，已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事，那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个？

【练习2】 图书室有100本书，借阅图书者要在图书上签名.已知这100本书中有甲、乙、丙

签名的分别有33、44和55本，其中同时有甲、乙签名的有29本，同时有甲、丙签名的有25本，同时有乙、丙签名的有36本.问这批图书中至少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过？

【练习3】 （第六届“中环杯”六年级初赛）有红、黄、蓝、白、黑五种形状大小完全一样

的小球若干，每人必须从中选3只小球.要使有两人得到球的颜色完全一样，至少有（ ）人参加选球.

【练习4】 在1，4，7，10，?，100中，至少取多少个数，才能保证其中至少有两个数

的和等于104？

【练习5】 （第七届“中环杯”六年级初赛）从2006到5550的整数中，十位数字与个位数

字相同的数共有（ ）个.

【练习6】 将17个足球分给七个班级，每班至少分两个，有多少种不同的分法？