超越中小学培训——高中数学
_1.1 集__合 1．1.1 集合的含义与表示 第一课时 集合的含义 [提出问题] 观察下列实例： (1)山东天成书业集团的所有员工； (2)平面内到定点O的距离等于定长d的所有的点； ??x＋1≥3(3)不等式组?2的整数解； ?x≤9?集合的概念 (4)方程x2－5x＋6＝0的实数根； (5)某中学所有较胖的同学． 问题1：上述实例中的研究对象各是什么？ 提示：员工、点、整数解、实数根、较胖的同学． 问题2：你能确定上述实例的研究对象吗？ 提示：(1)(2)(3)(4)的研究对象可以确定． 问题3：上述哪些实例的研究对象不能确定？为什么？ 提示：(5)的研究对象不能确定，因为“较胖”这个标准不明确，故无法确定． [导入新知] 元素与集合的概念
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元素 集合 [化解疑难] 定义 一般地，我们把研究对象统称为元素 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集) 表示 通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示 通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示 准确认识集合的含义 (1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的． (2)集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素. [提出问题] 问题1：上述实例(3)组成的集合的元素是什么？ 提示：2,3. 问题2：上述实例(4)组成的集合的元素是什么？ 提示：2,3. 问题3：实例(3)与实例(4)组成的集合有什么关系？ 提示：相等． [导入新知] 1．集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等． 2．集合元素的特性 集合元素的特性：确定性、互异性、无序性． [化解疑难] 对集合中元素特性的理解 (1)确定性：是指作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合．也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的． (2)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．
(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如1,2,3与3,2,1构成的集合
元素的特性及集合相等 2
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是同一个集合．
[提出问题] 某中学2013年高一年级20个班构成一集合． 问题1：高一(6)班、高一(16)班是这个集合的元素吗？ 提示：是这个集合的元素． 问题2：高二(3)班是这个集合中的元素吗？为什么？ 提示：不是．高一年级这个集合中没有高二(3)班这个元素． [导入新知] 1．元素与集合的关系 (1)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. (2)如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a?A. 2．常用的数集及其记法 常用的数集 记法 [化解疑难] 1．对∈和?的理解 (1)符号“∈”“?”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a?A”这两种结果． (2)∈和?具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的． 2．常用数集关系网 自然数集 N 正整数集 N*或N＋ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 元素与集合的关系及常用数集的记法 ?? ??有理数集Q?整数集Z??负整数集实数集R??分数集??无理数集 正整数集N*???自然数集N?{0}?
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集合的基本概念 超越中小学培训——高中数学
[例1] (1)下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点a的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集合的组数是( )
A．2 C．4 B．3 D．5 (2)判断下列说法是否正确，并说明理由． ①某个公司里所有的年轻人组成一个集合； 1361－?，组成的集合有五个元素； ②由1，，，?24?2?2③由a，b，c组成的集合与由b，a，c组成的集合是同一个集合． [解析] (1)“接近于0的数”“比较小的正整数”标准不明确，即元素不确定，所以①②不是集合．同样，“2的近似值”也不明确精确到什么程度，因此很难判定一个数，比如2是不是它的近似值，所以⑤也不是一个集合．③④能构成集合． [答案] A (2)[解] ①不正确．因为“年轻人”没有确定的标准，对象不具有确定性，所以不能组成集合． 136131－?＝，由集合中元素的互异性知，这个集合是由1，，这②不正确．由于＝，?24?2?222三个元素组成的． ③正确．集合中的元素相同，只是次序不同，所以它们仍表示同一个集合． [类题通法] 判断一组对象能否组成集合的标准及其关注点 (1)标准：判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合． (2)关注点：利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合，应注意集合中元素的特性，即确定性、互异性和无序性． [活学活用] 下列说法正确的是( ) A．小明身高1.78 m，则他应该是高个子的总体这一集合中的一个元素 B．所有大于0小于10的实数可以组成一个集合，该集合有9个元素 C．平面上到定直线的距离等于定长的所有点的集合是一条直线 D．任意改变一个集合中元素的顺序，所得集合仍和原来的集合相等
解析：选D A中的高个子标准不能确定，因而不能构成集合；B中对象能构成集合，但元素有无穷多个；C中对象构成的是两条直线，D反映的是集合元素的无序性.
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