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[例2] (1)用符号“∈”或“?”填空：
用描述法表示集合 ①A＝{x|x2－x＝0}，则1________A，－1________A； ②(1,2)________{(x，y)|y＝x＋1}． (2)用描述法表示下列集合： ①正偶数集；
②被3除余2的正整数的集合；
③平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
(1)[解析] ①将1代入方程成立，将－1代入方程不成立，故1∈A，－1?A. ②将x＝1，y＝2代入y＝x＋1成立，故填∈. [答案] ①∈ ? ②∈
(2)[解] ①偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．
②设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．
③坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．
[类题通法]
利用描述法表示集合应关注五点
(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}．
(2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．
(3)不能出现未被说明的字母．
(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．
(5)在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如{直角三角形}，{自然数}等． [活学活用] 下列三个集合： ①A＝{x|y＝x2＋1}； ②B＝{y|y＝x2＋1}； ③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}． (1)它们是不是相同的集合？ (2)它们各自的含义分别是什么？
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解：(1)由于三个集合的代表元素互不相同，故它们是互不相同的集合．
(2)集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}＝R，即A＝R；集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．
集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的数对．可以认为集合C是坐标平面内满足y＝x2＋1的点(x，y)构成的集合，其实就是抛物线y＝x2＋1的图象. 集合表示的应用 [例3] (1)集合A＝{1，－3,5，－7,9，…}用描述法可表示为( ) A．{x|x＝2n±1，n∈N} B．{x|x＝(－1)n(2n－1)，n∈N} C．{x|x＝(－1)n(2n＋1)，n∈N} D．{x|x＝(－1)n1(2n＋1)，n∈N} ??6??(2)设集合B＝?x∈N?2＋x∈N?. ??－? ??①试判断元素1,2与集合B的关系； ②用列举法表示集合B. (1)[解析] 观察规律，其绝对值为奇数排列，且正负相间，且第一个为正数，故应选C. [答案] C 6(2)[解] ①当x＝1时，＝2∈N. 2＋163当x＝2时，＝?N.所以1∈B,2?B. 2＋226②∵∈N，x∈N，∴2＋x只能取2,3,6. 2＋x∴x只能取0,1,4.∴B＝{0,1,4}． [类题通法] 判断元素与集合间关系的方法 (1)用列举法给出的集合，判断元素与集合的关系时，观察即得元素与集合的关系． 例如，集合A＝{1,9,12}，则0?A,9∈A. (2)用描述法给出的集合，判断元素与集合的关系时就比较复杂．此时，首先明确该集合中元素的一般符号是什么，是实数？是方程？……，其次要清楚元素的共同特征是什么，最后往往利用解方程的方法判断所给元素是否满足集合中元素的特征，即可确定所给元素与集合的关系．
[活学活用]
定义集合A，B的一种运算：A*B＝{x|x＝x1＋x2，其中x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，
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B＝{1,2}，试用列举法表示出集合A*B.
解：当x1＝1时，x2可以取1或2，则x1＋x2＝2或3； 当x1＝2时，x2可以取1或2，则x1＋x2＝3或4； 当x1＝3时，x2可以取1或2，则x1＋x2＝4或5. ∴A*B＝{2,3,4,5}． 1.集合与方程的综合应用 [典例] 集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，求a的取值范围． [解] 当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0， 1此时x＝－，符合题意； 2当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程， Δ＝4－4a＝0，即a＝1，原方程的解为x＝－1，符合题意． 故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素． [多维探究] 解答上面例题时，a＝0这种情况极易被忽视，对于方程“ax2＋2x＋1＝0”有两种情况：一是a＝0，即它是一元一次方程；二是a≠0，即它是一元二次方程，也只有在这种情况下，才能用判别式Δ来解决问题． 求解集合与方程问题时，要注意相关问题的求解，如： (1)在本例条件下，若A中至多有一个元素，求a的取值范围． 解：A中至多含有一个元素，即A中有一个元素或没有元素． 当A中只有一个元素时，由本例可知，a＝0或1. 当A中没有元素时，Δ＝4－4a<0，即a>1. 故当A中至多有一个元素时，a的取值范围为a＝0或a≥1. (2)在本例条件下，若A中至少有一个元素，求a的取值范围． 解：A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素． 由例题可知，当a＝0或a＝1时，A中有一个元素； 当A中有两个元素时，Δ＝4－4a>0，即a<1. ∴A中至少有一个元素时，a的取值范围为a≤1. (3)若1∈A，则a为何值？
解：∵1∈A，∴a＋2＋1＝0，即a＝－3.
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(4)是否存在实数a，使A＝{1}，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 解：∵A＝{1}，∴1∈A，∴a＋2＋1＝0，即a＝－3. 1
又当a＝－3时 ，由 －3x2＋2x＋1＝0，得x＝－或x＝1，
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11即方程ax2＋2x＋1＝0存在两个根－和1，此时A＝{－，1}，与A＝{1}矛盾． 33故不存在实数a，使A＝{1}． [随堂即时演练] ??x＋y＝1，1．方程组?22的解集是( ) ?x－y＝9? A．(－5,4) C．{(－5,4)} B．(5，－4) D．{(5，－4)} ???x＋y＝1，?x＝5，解析：选D 解方程组?22得?故解集为{(5，－4)}，选D. ?x－y＝9，???y＝－4， 2．下列四个集合中，不同于另外三个的是( ) A．{y|y＝2} C．{2} B．{x＝2} D．{x|x2－4x＋4＝0} 解析：选B 集合{x＝2}表示的是由一个等式组成的集合，其它选项所表示的集合都是含有一个元素2. 3．给出下列说法： ①直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为{(x，y)|xy>0}； ②方程x－2＋|y＋2|＝0的解集为{2，－2}； ③集合{(x，y)|y＝1－x}与{x|y＝1－x}是相等的． 其中正确的是________(填写正确说法的序号)． 解析：直角坐标平面内，第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的，且集合中的代表元素为点(x，y)，故①正确； ???x－2＝0，?x＝2，方程x－2＋|y＋2|＝0等价于?即?解为有序实数对(2，－2)，解集?y＋2＝0，???y＝－2，?x＝2?为{(2，－2)}或{(x，y)|?}，故②不正确； ??y＝－2
集合{(x，y)|y＝1－x}的代表元素是(x，y)，集合{x|y＝1－x}的代表元素是x，前者是有序实数对，后者是实数，因此这两个集合不相等，故③不正确．
答案：①
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