（ ）
A．若级数?un与?vn收敛，则级数?(un?vn)2收敛
n?1???n?1n?1
22?vn)收敛 B．若级数?un与?vn收敛，则级数?(unn?1???n?1n?1C．若正项级数?un与?vn收敛，则级数?(un?vn)2收敛
n?1???n?1n?1D．若级数?unvn收敛，则级数?un与?vn都收敛
n?1n?1???n?12解：正项级数?un与?vn收敛??u与?vn收敛，
2nn?1????n?12nn?1n?1而(un?vn)?2(u?v)，所以级数?(un?vn)2收敛 ，应选C。
22n?n?1 29. 微分方程(x?2y)y??2x?y（ ）
A. x2?y2?C B.x?y?C
的通解为
C.y?x?1 D.x2?xy?y2?C2
解：注意对所给的方程两边求导进行验证，可得通解应为x2?xy?y2?C2，应选D.
d2x230.微分方程的通解是 ?βx?02dt（ ）
A. x?C1cosβt?C2sinβt B. x?C1e?βt?C2eβt C.x?cosβt?sinβt D.x?e?βt?eβt 解：微分方程的特征方程为λ2?β2?0，有两个复特征根λ??βi，所以方程的通解为x?C1cosβt?C2sinβt，应选A. 得评卷人 二、填空题（每小题2分，共30分）
分 1.设f(x?1)?x2?2 ,则f(x?2)?_________.
解：f(x?1)?(x?1)2?2(x?1)?3?f(x)?x2?2x?3?
f(x?2)?x2?6x?11.
x2?ax?6?5,则a?_____________. 2.limx?2x?2解：因lim(x?2)?0?lim(x2?ax?6)?0?a?1.
x?2x?2π 3.设函数y?arctanx在点(1,)处的切线方程是__________.
46 / 12
解：k?y?x?1?即x?2y?1?1x11?x2?x?11π1，则切线方程为y??(x?1)， 242π?0. 2lnx?xx14.设y?xex，则dy?___________.
lnx1?lnx?dy?ed(?x)?xxex[?1]dx . 解：y?exx25.函数y?2x2?lnx的单调递增区间是 __________.
lnx?xx1?1111?4x??0解：y??4x????x??(,??) 或[,??). x22x2??x?06.曲线y?e解：y??exx的拐点是_________.
?12xx30?y???ex(x?1)4xx?0?x?1,得拐点为(1,e).
7.设f(x)连续,且?f(t)dt?x,则f(27)?_________.
解：等式?f(t)dt?x两边求导有f(x3)3x2?1,取x?3有f(27)?0x31. 278.设f(0)?1,f(2)?2,f?(2)?3，则 ?xf??(2x)dx?__________.
01解：?xf??(2x)dx?01111111??xdf(2x)?xf(2x)?f?(2x)d2x ??0002241111151?f?(2)?f(2x)0?f?(2)?f(2)?f(0)?. 2424449.函数y??te?tdt的极小值是_________.
0x解:y??xe?x?0?x?0?f(0)?0.
1?sinx10.?dx? ________.
x?cosx1?sinxd(x?cosx)解:?dx???ln|x?cosx|?C.
x?cosxx??cosx?11.由向量a?{1,0,?1},b?{0,1,2}为邻边构成的平行四边形的面积为______.
???ijk???????解： a?b?10?1?i?2j?k?S?|a?b|?6 .
0112.设
2xz?z?z?_________. ?ln ，则 ??x?yzyxzx解：令F??ln??lnz?lny ,则
zyz7 / 12
Fx??11x1x?z,Fy??,Fz???2???2. zyzzzFy?Fx??zz?zz2?z?zz(y?z) ,所以? . ????;????x?yy(x?z)?xFz?x?z?yFz?y(x?z)13.设D是由y?1?x2,y?x,y?0，所围成的第一象限部分,则
y2()dxdy ??xD=_______.
解：积分区域在极坐标系下表示为D?{(r,θ)|0?θ?π2ππ,0?r?1},则 41sinθ?1y24dθ?4(sec2θ?1)dθrdr ()dxdy?rdr??????0?0?cosθ??0?0xDπ1411π22??(secθ?1)dθ?(tanθ?θ)4??.
020228π
3展开为x的幂级数是_________.
2?x?x23311111解：f(x)?, ?????2x(1?x)(2?x)1?x2?x1?x22?x?x1?2??1?xn1??n所以f(x)??(?x)??()???(?1)n?n?1?xn,(?1?x?1).
2n?022?n?0n?0?15.用待定系数法求方程y???4y??4y?(2x?1)e2x的特解时,特解应设为__________. 解：2是特征方程λ2?4λ?4?0的二重根,且(2x?1)是一次多项式,特解应设为
x2(Ax?B)e2x. 三、计算题（每小题5分，共40分） 得评卷人 分 x21．lim.
x?01?xsinx?cosx14.将f(x)?x2(1?xsinx?cosx)解：lim ?limx?0x?01?xsinx?cosx1?xsinx?cosxx2?lim?lim(1?xsinx?cosx) x?01?xsinx?cosxx?0?2limx2x?2lim
x?01?xsinx?cosxx?02sinx?xcosx200x28 / 12
114?4??.
x?03cosx?xsinx33dy?3x?2?22.已知y??. ?,f?(x)?arctanx,求
dxx?0?5x?2?3x?2解：令?u,则y?f(u) ,
5x?2?2dydydu3x?2?3x?2?16?????f?(u)?, ??arctan???2dxdudx5x?25x?2(5x?2)????dy16π?arctan1?2?4??π. 所以
dxx?042?4lim3.求不定积分 ?解：?00x31?x2dx. x1?x23x31?x2dx??x2dx??x2d1?x2
?x21?x2??1?x2d(x2)?x21?x2??1?x2d(1?x2) 2?x1?x?(1?x2)2?C.
3?ln(1?x),x?02?4.设f(x)??1 ,求?f(x?1)dx.
0,x?0??2?x22 解：令x?1?t ,则?f(x?1)dx??f(t)dt
0?12111??f(t)dt??f(t)dt??dt??ln(1?t)dt ?10?12?t01t01?ln(2?t)?1?tln(1?t)0??dt
01?t11?ln2?ln2??(1?)dt
01?t11?2ln2?t0?ln(1?t)0?3ln2?1. 0105.设z?f(exsiny,x2?y2) ，其中f(u,v)可微，求
?z?z,. ?x?y解：令exsiny?u,x2?y2?v,则z?f(u,v),复合关系结构如图05-1所示,
y ?z?z?u?z?v????
u ?x?u?x?v?xx
x?esinyfu?(u,v)?2xfv?(u,v),
y ?z?z?u?z?vz ????vx ?y?u?y?v?y?excosyfu?(u,v)?2yfv?(u,v). 图05-1 6．求??Dx2dxdy，其中D是由xy?1,y?x及x?2所围成的闭区域. 2y9 / 12
解：积分区域如图05-2所示，曲线xy?1,y?x在第一象限内的交点为（1，1），
1积分区域可表示为：1?x?2,?y?x.
x 则??Dxx12dxdy?dxdy?x(?)dx 1?1?xy2?1y1y22x2x22xy 1y? xy?x221????x2?x??dx??(x3?x)dx 11x??O 1 ?xx?9?????. ?4?24??1422x
x?2(?1)2n?1x的收敛域（考虑区间端点）.
n?02n?1解： 这是缺项的规范的幂级数，
un?1(?1)n?1x2n?32n?12n?12因为 ρ?lim?lim??xlim?x2， n2n?1n??un??n??2n?32n?3(?1)xn7．求幂级数??n图05-2
当ρ?1，即?1?x?1时，幂级数绝对收敛； 当ρ?1，即x?1或x??1时，幂级数发散； 当ρ?1，即x??1时，
(?1)n若x?1时，幂级数化为?是交错级数，满足来布尼兹定理的条件，
2n?1n?0?(?1)n?1是收敛的，若x??1时，幂级数化为?也是交错级数，也满足来布尼兹
2n?1n?0定理的条件，是收敛的.
故幂级数的收敛域为[-1,1].
8．求微分方程 (x2?1)y??2xy?cosx?0通解.
2xcosx解：微分方程可化为 y??2，这是一阶线性非齐次微分方程，y?2x?1x?12xC它对应的齐次线性微分方程y??2. y?0的通解为y?2x?1x?1C?(x)2xC(x)C(x)?2设非齐次线性微分方程的通解为y?2，则y??2，代入2x?1(x?1)x?1方程得C?(x)?cosx,所以C(x)?sinx?C.
sinx?C故原微分方程的通解为y?(C为任意常数). 2x?1 四、应用题（每小题7分，共计14分） 得评卷人 分 1. 一房地产公司有50套公寓要出租,当月租金定为2000
元时,公寓会全部租出去,当月租金每增加100元时,就会多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花费200元的维修费.试问租金定为多少可获得最大收入?
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