几何经典模型：半角模型

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半角模型

已知如图：①∠2=∠AOB；②OA=OB.

12O123FEA

连接FB，将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置，连接F′E，FE， 可得△OEF≌△OEF′

BOF'4123FEA

模型分析

∵△OBF ≌△OAF′， ∴∠3=∠4，OF=OF′.

∴∠2=∠AOB，

∴∠1+∠3=∠2 ∴∠1+∠4=∠2

又∵OE是公共边， ∴△OEF≌△OEF′.

（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点； （2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系； （3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°.

12B

模型实例

例1 已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CB、DC于点M、N． （1）求证：BM+DN=MN．

（2）作AH⊥MN于点H，求证：AH=AB．

证明：（1）延长ND到E，使DE=BM，

∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB． 在△ADE和△ABM中， ?AD?AB? ??ADE??B

?DE?BM? ∴△ADE≌△ABM．

∴AE=AM，∠DAE=∠BAM ∵∠MAN=45°，∴∠BAM+∠NAD=45°． ∴ ∠MAN=∠EAN=45°． 在△AMN和△AEN中， ?MA?EA? ??MAN??EAN

?AN?AN? ∴△AMN≌△AEN． ∴MN=EN．

∴BM+DN=DE+DN=EN=MN．

（2）由（1）知，△AMN≌△AEN． ∴S△AMN=S△AEN．

11 即AH?MN?AD?EN．

22 又∵MN=EN， ∴AH=AD． 即AH=AB．

例2 在等边△ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且 ∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在线段AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系．

（1）如图①，当DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是_______________；

（2）如图②，当DM≠DN时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．

图① 图②

解答

（1）BM、NC、MN之间的数量关系是BM+NC=MN． （2）猜想：BM+NC=MN．

证明：如图③，延长AC至E，使CE=BM，连接DE． ∵BD=CD，且∠BDC=120°， ∴∠DBC=∠DCB=30°． 又∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°． ∴∠MBD=∠NCD=90°． 在△MBD与△ECD中，

∵DB=DC，∠DBM=∠DCE=90°，BM=CE， ∴△MBD≌△ECD（SAS）． ∴DM=DE，∠BDM=∠CDE． ∴∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°． 在△MDN和△EDN中，

∵MD=ED，∠MDN=∠EDN=60°，DN=DN， ∴△MDN≌△EDN（SAS）． ∴MN=NE=NC+CE=NC+BM．