中考数学总复习题型专项(八)二次函数与几何图形综合题类型5探究角度数量关系的存在性问题试题

凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。

中考数学总复习题型专项（八）二次函数与几何图形综合题类型5探究角

度数量关系的存在性问题试题

1．(2015·南宁)在平面直角坐标系中，已知A，B是抛物线y＝ax2(a>0)上两个不同的点，其中A在第二象限，B在第一象限．

(1)如图1所示，当直线AB与x轴平行，∠AOB＝90°，且AB＝2时，求此抛物线的解析式和A，B两点的横坐标的乘积；

(2)如图2所示，在(1)所求得的抛物线上，当直线AB与x轴不平行，∠AOB仍为90°时，A，B两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由；

(3)在(2)的条件下，如图3，若直线y＝－2x－2分别交直线AB，y轴于点P，C，直线AB交y轴于点D，且∠BPC＝∠OCP，求点P的坐标． 解：(1)设直线AB与y轴交于点E，

∵AB与x轴平行，根据抛物线的对称性有AE＝BE＝1. ∵∠AOB＝90°，∴OE＝AB＝1. ∴A(－1，1)，B(1，1)．

把x＝1，y＝1代入y＝ax2，得a＝1，

∴抛物线的解析式为y＝x2，A，B两点的横坐标的乘积为xA·xB＝－1. (2)xA·xB＝－1为常数，过点A作AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N， ∴∠AMO＝∠BNO＝90°.

∴∠MAO＋∠AOM＝∠AOM＋∠BON＝90°. ∴∠MAO＝∠BON.∴△AMO∽△ONB. ∴＝，即OM·ON＝AM·BN.

邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。

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凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。

设A(xA，yA)，B(xB，yB)，

∵A(xA，yA)，B(xB，yB)在y＝x2图象上， ∴yA＝x，yB＝x.∴－xA·xB＝yA·yB＝x·x. ∴xA·xB＝－1为常数．

(3)设A(m，m2)，B(n，n2)，由(2)可知mn＝－1.

设直线AB的解析式为y＝kx＋b，联立得x2－kx－b＝0. ∵m，n是方程的两个根，∴mn＝－b.∴b＝1. ∵直线AB与y轴交于点D，则OD＝1. 易知C(0，－2)，OC＝2，∴CD＝OC＋OD＝3. ∵∠BPC＝∠OCP，∴PD＝CD＝3.

设P(a，－2a－2)，过点P作PG⊥y轴于点G，则PG＝－a，GD＝OG－OD＝－2a－3. 在Rt△PDG中，由勾股定理得：PG2＋GD2＝PD2，

即(－a)2＋(－2a－3)2＝32，整理得5a2＋12a＝0，解得a＝0(舍去)或a＝－. 当a＝－时，－2a－2＝， ∴P(－，)．

2．(2016·河南)如图1，直线y＝－x＋n交x轴于点A，交y轴于点C(0，4)．抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A，交y轴于点B(0，－2)．点P为抛物线上一个动点，经过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；

(3)如图2，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′＝∠OAC，当点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标． 解：(1)由直线y＝－x＋n过点C(0，4)，得n＝4，

邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。

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凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。

∴y＝－x＋4.

当y＝0时，0＝－x＋4，解得x＝3，∴A(3，0)． ∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(3，0)，B(0，－2)．

4??b＝－，3 ∴∴???c＝－2.

∴抛物线的解析式为y＝x2－x－2. (2)∵点P的横坐标为m，

∴P(m，m2－m－2)，D(m，－2)． 若△BDP为等腰直角三角形，则PD＝BD. ①当点P在直线BD上方时，PD＝m2－m. (ⅰ)若点P在y轴左侧，则m<0，BD＝－m. ∴m2－m＝－m，

∴m1＝0(舍去)，m2＝(舍去)．

(ⅱ)若点P在y轴右侧，则m>0，BD＝m. ∴m2－m＝m，∴m3＝0(舍去)，m4＝.

②当点P在直线BD下方时，m>0，BD＝m，PD＝－m2＋m. ∴－m2＋m＝m，∴m5＝0(舍去)，m6＝. 综上，m＝或.

即当△BDP为等腰直角三角形时，PD的长为或. (3)P1(－，)，P2(，)， P3(，)．

【提示】∵∠PBP′＝∠OAC，OA＝3，OC＝4， ∴AC＝5，∴sin∠PBP′＝，cos∠PBP′＝.

①当点P′落在x轴上时，过点D′作D′N⊥x轴，垂足为N，交BD于点M，∠DBD′

邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。3 / 4