四、计算题（每小题10分，共40分）
1.已知X(z)?5?7z2?5z?1?1?2?2z，求出对应X(z)的各种可能的序列表达式。
解： X(z)有两个极点：z1=0.5，z2=2， 因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有三种情况： |z|<0.5，0.5<|z|<2，2<|z|。对应三种不同的原序列。 -----------3分
x(n)??Res[F(z),0.5]?Res[F(z),2]nn??(5z?7)z2(z?0.5)(z?2)(z?0.5)z?0.5?(5z?7)z2(z?0.5)(z?2)(z?2)z?2 ------------3分
1n?1n??[3?()?2]u(?n?1)21n?1nx(n)?3?()u(n)?2u(?n?1)2 ------------------------2分
??1?n?1?n x(n)??3????2?u(n)
????2?? ------------------------2分
2.用Z变换法解下列差分方程：y(n)－0.9y(n－1)=0.05u(n)，n < 0时y(n)=0。
解：
Y(z)?0.9Y(z)zY(z)??1?0.0511?z?10.05(1?0.9z)(1?z)?1?1 ------------------------4分
y(n)?Res[F(z),0.9]?Res[F(z),1]? ??0.5??0.9?n?10.05?0.1(0.9)n?1?0.050.1 ------------------------3分
?0.5n<0时， y(n)=0
最后得到 y(n)=［－0.5 · (0.9)n+1+0.5］u(n) ------------------------3分
3.设计一个巴特沃斯低通滤波器， 要求其通带截止频率fp=12 kHz，阻带截止频率fs=24 kHz，
fp处最大衰减为3dB，阻带最小衰减as=15dB。求出该滤波器的系统函数Ha(s)，并说明如何应用脉冲响应不变法转换为数字滤波器系统函数。 解：?sp?1010lgksplg?sp?s?p0.1as0.1ap?2π?24?102π?12?1010101.50.333?2
ksp??1?1??1?1?30.6230.995?5.548
N??lg5.548lg21?2.472 ------------------------4分
G(p)?p?2p?2p?132
H(s)?G(p)|p?s??c3232c3c?cs?2?cs?2?s?? ------------------------3分
式中Ωc=2πfc=2π×12×103=24π×103 rad/s
N 由H(s)??i?1Ais?si、H(z)?N?1?ei?1AisiTz?1关系可得数字滤波器系统函数 ----3分
4.用矩形窗设计线性相位低通FIR滤波器，要求过渡带宽度不超过π/8 rad。希望逼近的理想低通滤波器频率
?j?a?e0?|?|??c?j?响应函数为 Hd(e)??。
?c?|?|????0(1) 求出理想低通滤波器的单位脉冲响应hd(n)；
(2) 求出加矩形窗设计的低通FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)表达式， 确定?
与N之间的关系；（矩形窗过渡带宽度近似值：4π/N ） (3) 简述N取奇数或偶数对滤波特性的影响。
hd(n)?12π解：(1)
?N?12?π?πHd(e?j?)ej?nd??12π????cec?j??ej?nd?sin[?c(n??)]π(n??) ------------------------4分
(2) ??，
4πN?π8求解得到N ≥32
RN(n)
h(n)?hd(n)?RN(n)?sin[?c(n??)]?(n??)?sin[?c(n??)]?π(n??)???0?0?n?N?1,??其它nN?12 ------------------------3分
(3) N取奇数时，幅度特性函数Hg(ω)关于ω=0，π，2π三点偶对称，可实现各类幅频特性； N取偶数时，Hg(ω)关于ω=π奇对称，即Hg(π)=0，所以不能实现高通、 带阻和点阻滤波特性。 ------------------------3分
三、（15分）、已知某离散时间系统的差分方程为
y(n)?3y(n?1)?2y(n?2)?x(n)?2x(n?1)
系统初始状态为y(?1)?1，y(?2)?2，系统激励为x(n)?(3)nu(n)， 试求：（1）系统函数H(z)，系统频率响应H(ej?)。
（2）系统的零输入响应yzi(n)、零状态响应yzs(n)和全响应y(n)。 解：（1）系统函数为H(z)?j?1?2z1?3z?1?1?2?zee2j?z22j?2?2zj??2zz?ej??3z?2?2ej?
系统频率响应H(e)?H(z)??3e?2解一：（2）对差分方程两端同时作z变换得
Y(z)?3z[Y(z)?y(?1)z]?2z[Y(z)?y(?1)z?y(?2)z]?X(z)?2zX(z)
?1?22?1即：Y(z)?3y(?1)?2z?1y(?1)?2y(?2)?2z?21?3z?1?(1?2z1?3z?1?1)?2X(z)?2z
上式中，第一项为零输入响应的z域表示式，第二项为零状态响应的z域表示式，将初始状态及激励的z变换
X(z)?zz?3代入，得零输入响应、零状态响应的z域表示式分别为
?1?2z?1?2?1Yzi(z)???zz22?2z1?3z?2z?3z?2 ，Yzs(z)?1?2z1?3z?1?1?2?zz?3?zz22?2z?zz?3?2z?3z?2
将Yzi(z),Yzs(z)展开成部分分式之和，得
315Yzi(z)??z?2?3??4，
Yzs(z)?z2?2z?1??822??
zz2?3z?2z?1z?2zz2?3z?2z?3z?1z?23
z15即Yzzi(z)?3z?1??4zz?2
Y(z)?2?8z2zzsz?1?z?2?z?3
对上两式分别取z反变换，得零输入响应、零状态响应分别为
ykzi(k)?[3?4(2)]?(k)，yzs(k)?[32?8(2)k?152(3)k]?(k)故系统全响应为：y(k)?ykkzi(k)?yzs(k)?[9152?12(2)?2(3)]?(k) 解二、（2）系统特征方程为?2?3??2?0，特征根为：?1?1，?2?2；
故系统零输入响应形式为
yzi(k)?ck1?c2(2)
将初始条件y(?1)?1，y(?2)?2带入上式得
???y1zi(?1)?c1?c2(?2)?1 解之得
c1?3，c2??4，
???yzi(?2)?c1?c2(14)?2故系统零输入响应为： yzi(k)?3?4(2)k
k?0
系统零状态响应为
Y1?2z?1z2?2zzs(z)?H(z)X(z)?1?3z?1z?2?zz?3??z?2z2?3z?2z?3
315Yzs(z)z2?2z2?82z?z2?1?3z?2z?3?z?1?z?2?z?3
3z15即
Y(z)?2z?1??8z2zzsz?2?z?3
对上式取z反变换，得零状态响应为 y15zs(k)?[3k(3)k](2?8(2)?2?k)
故系统全响应为
y(k)?yzi(k)?yzs(k)?[92?12(2)k?152(3)k]?(k)
四、回答以下问题：
（1） 画出按时域抽取N?4点基2FFT的信号流图。
z?3
（2） 利用流图计算4点序列x(n)?(2,1,3,4)（n?0,1,2,3）的DFT。 （3） 试写出利用FFT计算IFFT的步骤。 解：（1）
Q0(0)Q0(1)?1Q(0)1Q1(1)?1?j?1jX(0)X(1)X(2)X(3)r10k0W20W20x(0)x(2)x(1)x(3)l10k000W4W41W20W21123W4W41W4W40020
4点按时间抽取FFT流图 加权系数 （2）
?Q0(0)?x(0)?x(2)?2?3?5 ?Q(1)?x(0)?x(2)?2?1??1?0W4W43
?Q1(0)?x(1)?x(3)?1?4?5??Q1(1)?x(1)?x(3)?1?4??31
X(0)?Q0(0)?Q1(0)?5?5?102
X(1)?Q0(1)?W4Q1(1)??1?j?3X(3)?Q0(1)?W4Q1(1)??1?3j3X(2)?Q0(0)?W4Q1(0)?5?5?0
即： X(k)?(10,?1?3j,0,?1?3j),k?0,1,2,3
（3）1）对X(k)取共轭，得X?(k)； 2）对X?(k)做N点FFT；
3）对2）中结果取共轭并除以N。 五、（12分）已知二阶巴特沃斯模拟低通原型滤波器的传递函数为
Ha(s)?1s?1.414s?12
试用双线性变换法设计一个数字低通滤波器，其3dB截止频率为?c?0.5?rad，写出数字滤波器的系统函数，并用正准型结构实现之。（要预畸，设T?1） 解：（1）预畸
?c?2Tarctan(?c2)?2Tarctan(0.5?2)?2
（2）反归一划
H(s)?Ha(s)s?s?c?1()?1.414()?122s2s?s42?2.828s?4
（3） 双线性变换得数字滤波器
H(z)?H(s)s?21?zT1?z?1?1?s?242?s?21?z1?z?1?14(21?z1?z?1?1?2.828s?4)?2.828?221?z1?z?1?1
?4?4(1?2z?1?z)13.656?2.344z?2?0.2929(1?2z?1?z?2?2)1?0.1716z
（4）用正准型结构实现
x(n)1z?112?10.2929y(n)z1?0.1716
六、（12分）设有一FIR数字滤波器，其单位冲激响应h(n)如图1所示：
h(n)213124?10n?2 试求：（1）该系统的频率响应H(ej?)；
（2）如果记H(ej?)?H(?)ej?(?)，其中，H(?)为幅度函数（可以取负值），?(?)为相位函数，
试求H(?)与?(?)；
（3）判断该线性相位FIR系统是何种类型的数字滤波器？（低通、高通、带通、带阻），说明你
的判断依据。
（4）画出该FIR系统的线性相位型网络结构流图。
解：（1）h(n)?(2,1,0,?1,?2)
4H(ej?)??h(n)en?0?j?n?h(0)?h(1)e?j??h(2)e?j2??h(3)e?j3??h(4)e?j4?
?2?e?j??e?j3??2ej2??j4??2(1?e?j2??j4?)?(e?j??j??e?j3?)
?2e?j2?(ej?j2??e)?e(ej??ej()?e?j2?[4jsin(2?)?2jsin(?)]
?2?2（2）H(ej?)?e?j2?e[4sin(2?)?2sin(?)]?e?2?)[4sin(2?)?2sin(?)]
?2?H(?)?4sin(2?)?2sin(?)， ?(?)??2
（3）H(2???)?4sin[2(2???)]?2sin(2???)??4sin(2?)?2sin(?)??H(?) 故 当?当??0时，有H(2?)??H(0)?H(0)，即H(?)关于0点奇对称，H(0)?0； 时，有H(?)??H(?))，即H(?)关于?点奇对称，H(?)?0
??上述条件说明，该滤波器为一个线性相位带通滤波器。 （4）线性相位结构流图
x(n)z?1z?1zh(0)?1z?1h(1)h(2)y(n)
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