第3讲 圆锥曲线的综合问题
考点1 圆锥曲线中的范围、最值问题
x2y2
[例1] [2019·辽宁沈阳质监]如图，椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，
abF2，离心率为
3
，过焦点F2且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的弦长为1. 2
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P(x0，y0)(y0≠0)为椭圆C上一动点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的平分线PM交椭圆
C的长轴于点M(m,0)，求实数m的取值范围．
x2y2b42222
【解析】 (1)将x＝c代入2＋2＝1中，由a－c＝b，可得y＝2，
aba2b所以过焦点F2且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的弦长为.
2
a＝1，a??由?c3
＝，a2??a＝b＋c，
2
2
2
2b2
x2
解得?
?a＝2，???b＝1，
所以椭圆C的方程为＋y＝1.
4
(2)解法一 因为点P(x0，y0)(y0≠0)，F1(－3，0)，F2(3，0)，所以直线PF1，PF2的方程分别为
2
y0x－(x0＋3)y＋3y0＝0， y0x－(x0－3)y－3y0＝0.
由题意可知|my0＋3y0|
|my0－3y0|＝. 2222
y0＋?x0＋3?y0＋?x0－3?
由于点P在椭圆C上，所以＋y0＝1，
4
- 1 -
x20
2
所以
|m＋3|
?3?2?x0＋2??2?
＝
|m－3|
?3?2
?x0－2??2?
，
因为－3 m＋3 3 x0＋22 ＝ 3 ，即m＝x0， 43 2－x0 2 3－m33因此－ 22 ?33?故实数m的取值范围为?－，?. ?22? 解法二 设|PF1|＝t， tm＋3 在△PF1M中，＝， sin∠PMF1sin∠MPF1 4－t3－m在△PF2M中，＝， sin∠PMF2sin∠MPF2 因为∠PMF1＋∠PMF2＝π，∠MPF1＝∠MPF2， t3＋m1所以＝，解得m＝(23t－43)， 4－t43－m因为t∈(a－c，a＋c)，即t∈(2－3，2＋3)， 33所以－ 22 ?33?故实数m的取值范围为?－，?. ?22? 1．解决圆锥曲线中范围问题的方法 一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化． 2．圆锥曲线中最值的求解策略 (1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解． (2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解． (3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域. - 2 - 『对接训练』 x2y2 1．[2019·江西五校协作体联考]在平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：2＋2＝1(a>b>0) ab右焦点的直线x＋y－3＝0交M于A，B两点，且椭圆M的离心率为 (1)求椭圆M的方程； (2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值． 解析：(1)易知椭圆M的右焦点为(3，0)，则c＝3. 离心率e＝＝2 . 2 ca3 a＝ 2222 ，则a＝6，故b＝a－c＝3. 2 所以椭圆M的方程为＋＝1. 63 x2y2 ??x＋y－3＝0，(2)由?x2y2 ＋＝1，??63 46 因此|AB|＝. 3 43?x＝ ?3，解得? 3 y＝－??3 ?x＝0， 或? ?y＝3， ?53? 由题意可设直线CD的方程为y＝x＋n?－ ?3? y＝x＋n，??22 ?xy＋＝1，??63 2 得3x＋4nx＋2n－6＝0， 4n2n－6所以x1＋x2＝－，x1x2＝. 33 42 又直线CD的斜率为1，所以|CD|＝2|x4－x3|＝9－n. 31862 由已知得，四边形ACBD的面积S＝|CD|·|AB|＝9－n. 2986 当n＝0时，S取得最大值，最大值为. 386 所以四边形ACBD面积的最大值为. 3 - 3 - 2 2 考点2 圆锥曲线中的定点、定值问题 3?x2y2?[例2] [2019·山东德州联考]已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)，点M?－1，?在椭圆C上，2?ab?1 椭圆C的离心率是. 2 (1)求椭圆C的标准方程； (2)设点A为椭圆C长轴的左端点，P，Q为椭圆C上异于长轴端点的两点，记直线AP， AQ斜率分别为k1，k2，若k1k2＝－，请判断直线PQ是否过定点？若过定点，求该定点的坐标； 若不过定点，请说明理由． 3?1?【解析】 (1)由点M?－1，?在椭圆C上，且椭圆C的离心率是， 2?2? 14 ??可得?c1 ＝，a2??a＝b＋c， 22 2 2 9 ＋2＝1，a4b1 2 a＝4，??2 得?b＝3，??c2＝1， 2 故椭圆C的标准方程为＋＝1. 43 (2)设点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 3?3??3??3???(ⅰ)当直线PQ的斜率不存在时，由题意易得P?1，?，Q?1，－?或P?1，－?，Q?1，?. 2?2??2??2???(ⅱ)当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋m， x2y2 xy??＋＝1， 联立得?43 ??y＝kx＋m， 22 22 消去y得(4k＋3)x＋8kmx＋(4m－12)＝0， 222 由Δ＝64km－4(4k＋3)(4m－12)＝48(4k－m＋3)>0，得4k＋3>m， 8km4m－12x1＋x2＝－2，x1x2＝2. 4k＋34k＋3 2 22222 y1y21 由k1k2＝＝－， ?x1＋2??x2＋2?4 可得4y1y2＋(x1＋2)(x2＋2)＝0， 得4(kx1＋m)(kx2＋m)＋(x1＋2)(x2＋2)＝0， 整理为(4k＋1)x1x2＋(4km＋2)(x1＋x2)＋4m＋4＝0， 4m－128km2 故(4k＋1)2－(4km＋2)2＋4m＋4＝0， 4k＋34k＋3 2 22 2 化简整理得m－km－2k＝0，解得m＝2k或m＝－k. - 4 - 22
相关推荐：
loading